《1.3.1圆幂定理》教学案
【教学目标】
1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解
决有关问题；
2.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的
观点的教育.
【教学重难点】
重点：相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用；
难点：灵活运用圆幂定理解题.
【教学过程】
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等.
定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等)
几何语言：若弦AB、CD交于点P则P A·PB=PC·P
D(相交弦定理)
2证明
证明：连结AC，BD
由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B.(圆
周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.)
∴△P AC∽△PDB
∴P A∶PD=PC∶PB，P A·PB=PC·PD
注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性.其逆定理也可用于证明四点共圆.
3比较
相交弦定理、切割线定理以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求线段长度.
4相交弦定理推论
定理
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项.
说明几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则=P A·PB(相交弦定理推论)
切割线定理
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.是圆幂定理的一种.
切割线定理示意图
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT²=P A·PB(切割线定理)
推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：
∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=P A·PB(切割线定理推论)(割线定理)
由上可知:PT²=P A·PB=PC·PD
2证明
切割线定理证明:
设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=P A·PB
证明：连接AT，BT
∵∠PTB=∠P AT(弦切角定理 )
切割线定理的证明
∠APT=∠APT(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似)
则PB：PT=PT：AP
即：PT²=PB·P A
3比较
相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求直线段长度.
二〖知识点〗
相交弦定理、切割线定理及其推论
〖大纲要求〗
1．正误相交弦定理、切割线定理及其推论；
2．了解圆幂定理的内在联系；
3．熟练地应用定理解决有关问题；
4．注意(1)相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物.这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分)成两线段长的积相等(至于切线可看作是两条交点重合的割线).使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；
(2)见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形.
考查重点与常见题型
证明等积式、等比式及混合等式等.此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识.常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中.。