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【最新北师大版】数学八下易错题(含答案)

八年级下册易错题第一章 三角形的证明1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝,则该等腰三角形的周长是(D )A .7㎝B .9㎝C .12㎝或者9㎝D .12㎝考查知识点:三角形的基本知识及等腰三角形边的关系:任意两边之和大于第三边,等腰三角形两腰相等,因此只能是:5cm ,5cm,2cm.2.一个等腰三角形的一个角是40°,则它的底角是(D )A .40°B .50°C .60°D .40°或70°考查知识点:三角形的内角和及等腰三角形两底角相等:①当40°是顶角时,底角就是70°;②40°就是一个底角.3.已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ,则最长边上的高是(D )A.2.4cmB.3cmC.4cmD. 4.8cm提示:设最长边上的高为h,由题意可得△ABC 是直角三角形,利用面积相等求,即h .10.218.6.21 解得h=4.84.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,腰长为6,则其底边上的高是3或33. 解:①三角形是钝角三角形时,如图1,∵∠ABD=30°∴AD=21AB=21×6=3, ∵AB=AC , ∴∠ABC=∠ACB=21∠BAD=21(90°-30°)=30°, ∴∠ABD=∠ABC ,∴底边上的高AE=AD=3;②三角形是锐角三角形时,如图2,∵∠ABD=30°∴∠A=90°-30°=60°,∴△ABC 是等边三角形,∴底边上的高为23×6=33 综上所述,底边上的高是3或335.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形(B )的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高考查的知识点:三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为:点到点距离相等,为垂直平分线上的点】还有一个:三角形三个内角平分线的交点到三角形三边的距离相等【归纳为:点到线的距离相等,为角平分线的交点,此时的距离有“垂直”】 6.如图,在△ABC 中,AB=5,AC=3,BC 的垂直平分线交AB 于D ,交BC 于E ,则△ADC 的周长等于8考查的知识点:垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等7. 用反证法证明:一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.答案:已知:△ABC , 求证:△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°证明:假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°,即每一内角都大于60°则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形的内角和为180度矛盾.假设不成立. ∴△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°考查知识:反证法,用反证法进行证明时先写出已知、求证,再假设求证的反面成立,推出与题设、定理等相矛盾的结论,从而肯定原结论成立【注意:反证法一般很少用到,除非是题目要求用反证法证明,否则一般不考虑该方法】8. 如图所示,∠AOB=30°,OC 平分∠AOB,P 为OC 上任意一点,PD∥OA 交OB 于点D ,PE⊥OA 于点E ,若PE=2cm ,则PD=_________cm .解:过点P 作PF ⊥OB 于F ,∵∠AOB=30°,OC 平分∠AOB ,∴∠AOC=∠BOC=15°,∵PD ∥OA ,∴∠DPO=∠AOP=15°,∴∠DPO=∠AOP=15°,∴∠BOC=∠DPO ,∴PD=OD=4cm ,∵∠AOB=30°,PD ∥OA ,∴∠BDP=30°,∴在Rt △PDF 中,PF=21PD=2cm , ∵OC 为角平分线,PE ⊥OA ,PF ⊥OB,∴PE=PF ,∴PE=PF=2cm9.如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ,过点E 作MN∥BC 交AB 于M ,交AC 于N ,若BM+CN=9,则线段MN 的长为( ) A.6 B.7 C.8 D.9解:∵∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点E ,∴∠MBE=∠EBC ,∠ECN=∠ECB ,∵MN ∥BC ,∴∠EBC=∠EBC ,∠ECN=∠ECB ,∴BM=ME ,EN=CN ,∴MN=BM+CN ,∵BM+CN=9,∴MN=9考查知识点:平行+平分,必有等腰三角形10.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为F ,DE=DG ,△ADG 和△AED 的面积分别为50和39,则△EDF 的面积为(B ) A.11 B.5.5 C.7 D.3.5解:作DM=DE 交AC 于M ,作DN ⊥AC ,∵在△AED 和△AMD 中∴△AED ≌△AMD∴ADM ADE S S V V∵DE=DG ,DM=DE ,∴DM=DG ,∵AD 是△ABC 的外角平分线,DF ⊥AB ,∴DF=DN ,在Rt △DEF 和Rt △DMN 中,Rt △DEF ≌Rt △DMN (HL ),∵△ADG 和△AED 的面积分别为50和39,∴ADM ADG MDG S S S V V V -==50-39=11MDG DEF DNM S S S V V V 21===21×11=5.5考查知识点:角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等11.在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C 到AB 的距离是(A )A. B. C.D.解:在Rt △ABC 中,AC=9,BC=12,根据勾股定理得:AB=151292222=+=+BC AC过C 作CD ⊥AB ,交AB 于点D ,则由ABC S V =21AC .BC=21AB .CD ,得CD=AB BC AC .=1512x 91=536考查知识:利用面积相等法12.如图,在△ABC 中AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D 、E ,AD 、CE 交于点H ,已知EH=EB=3,AE=4,则CH 的长是(A )A.1 B.2 C.3 D.4解:∵AD ⊥BC ,∴∠EAH+∠B=90°,∵CE ⊥AB ,∴∠EAH+∠AHE=90°,∴∠B=∠AHE ,∵EH=EB ,在△AEH 和△CEB 中,∴△AEH ≌△CEB (ASA )∴CE=AE ,∵EH=EB=3,AE=4,∴CH=CE-EH=4-3=1考查知识:利用三角形全等求线段长度.13.如图,在△ABC 中,AD 是中线,AE 是角平分线,CF ⊥AE 于点F ,AB=5,AC=2,则DF 的长为23.解:延长CF 交AB 于点G ,∵AE 平分∠BAC ,∴∠GAF=∠CAF ,∵AF 垂直CG ,∴∠AFG=∠AFC ,在△AFG 和△AFC 中,∴△AFG ≌△AFC (ASA )∴AC=AG ,GF=CF ,又∵点D 是BC 的中点,∴DF 是△CBG 的中位线,∴DF=21BG=21(AB-AG )=21(AB-AC )=23点评:本题考查了三角形的中位线定理,解答本题的关键是作出辅助线,一般出现既是角平分线又是高的情况,我们就需要寻找等腰三角形.14.如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,FE 垂直平分AD ,交AD 于E ,交BC 的延长线于F.求证:∠CAF=∠B.解:∠B=∠CAF.∵FE 垂直平分AD ,∴FA=FD ,∴∠FAD=∠ADF ∵AD 为∠BAC 的平分线,∴∠CAD=∠BAD又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD ,∠B=∠ADF-∠BAD ,∴∠B=∠CAF点评:此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图,OA 、OB 表示两条相交的公路,点M 、N 是两个工厂,现在要在∠AOB 内建立一个货物中转站P ,使中转站到公路OA 、OB 的距离相等,并且到工厂M 、N 的距离也相等,用尺规作出货物中转站P 的位置.解:①作∠AOB 的角平分线;②连接MN ,作MN 的垂直平分线,交OM 于一点,交点就是所求货物中转站的位置.16. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.(1)证明:∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB,∠C=90°,∴∠ACD=∠AED=90°又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED(2)解:∵△ACD≌△AED∴DE=CD=1∵∠B=30°,∠DEB=90°,∴BD=2DE=217.如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.(1)求证:BF=2AE;(2)若CD=,求AD的长.(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°∴∠ABD=∠45°=∠BAD∴AD=BD∵BE⊥AC∴∠CAD+∠AFE=90°∵AD⊥BC∴∠FBD=∠BFD=90°又∠AFE=∠BFD∴∠CAD=∠FBD又∠ADC=∠BDF=90°∴△ADC≌△BDF∴AC=BF∵AB=BC,BE⊥AC∴AC=2AE∴BF=2AE(2)解:设AD=x,则BD=x∴AB=BC=2+x∵△ABD是等腰直角三角形∴AB=2AD∴2+x=2x解得x=2+2即AD=2+218.如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在BA、BC的延长线上,且AD=BE.求证:DC=DE证明:延长BE至F,使EF=BC∵△ABC是等边三角形∴∠B=60°,AB=BC∴AB=BC=EF∵AD=BE,BD=AB+AD, BF=BE+EF∴BD=BF∴△BDF是等边三角形∴∠F=60°,BD=FD在△BCD和△FED中,BC=EF∠B=∠F=60°BD=FD∴△BCD≌△FED(SAS)∴DC=DE19.如图,在△ABC 中,AC=BC ,∠ACB=90°,D 是AC 上一点,AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ,且AE=21BD ,求证:BD 是∠ABC 的角平分线.证明:延长AE 、BC 交于点F∵AE ⊥BE∴∠BEF=90°,又∠ACF=∠ACB=90°∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°∴∠DBC=∠FAC在△ACF 和△BCD 中∴△ACF ≌△BCD (ASA )∴AF=BD又AE=21BD ∴AE=EF,即点E 是AF 的中点∴AB=BF∴BD 是∠ABC 的角平分线20.如图,在△ABC 中,分别以AC 、AB 为边,向外作正△ACD ,正△ABE ,BD 与AE 相交于F ,连接AF ,求证:AF 平分∠DME证明:过点A 分别作AM ⊥BD,AN ⊥CE,分别交BD ,CE 于M ,N 两点∵△ABE 和△ACD 均为等边三角形,∴∠EAB=∠CAD=60°,AD=AC ,AB=AE∵∠EAC=∠BAD=60°+∠BAC ,∴△EAC ≌△BAD ,∴ AM BD S AN CE S BAD EAC .21.21===V V CE=BD ∴AN=AM∴AF 平分∠DME (在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上)21.如图,已知:AB=AC ,∠A=90°,AF=BE,BD=DC.求证:FD ⊥ED.证明:连接AD.∵∠A=90° AB=AC D 是BC 的中点∴AD ⊥BC ∠ADB=90° ∠B=45°=∠CAD AD=BD (直角三角形中,中线等于斜边的一半)且BE=AF∴易证△BED ≌△AFD (SAS )∴∠BDE=∠ADF ∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90°∴∠ADF+∠ADE=90°∴ED ⊥FD第二章 不等式(组)不等式基本性质例:如果x >y ,那么下列各式中正确的是(C )A .x-2<y-2B . 2x <2y C .-2x <-2y D .-x >-y 1.系数含有字母的不等式(组)解题思路:先把字母系数当做已知数,解除未知数的取值范围,再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意:“=”一定要考虑,如果满足题意则要取,不满足题意就不取】【自己做】(1)已知关于x 的方程3k -5x =-9的解是非负数,求k 的取值范围.(2) 已知关于x 的不等式(1-a )x >2的解集为x <a-12 ,则a 的取值范围是a >1. 提示:利用不等式的基本性质三:a-1<0 (3)如果不等式组⎩⎨⎧<+>-00b x a x 的解集是3<x <5,那么a=3,b=-5. 提示:解得不等式组的解集为:a<x <-b而不等式组的解集为:3<x <5∴a=3,b=-5(4) 如果不等式 ⎩⎨⎧><m x x 8 无解,那么m 的取值范围是 (B ) A .m >8 B.m ≥8 C.m <8 D.m ≤8提示:不等式组无解的条件是:比大的还大,比小的还小;∴m ≥8【“=”一定要考虑,这个题取“=”就满足题意】(5)如果不等式组⎩⎨⎧>-<+m x x x 148的解集是3>x ,则m 的取值范围是(A ). A .m≤3 B . m≥3 C .m=3 D .m <3提示:不等式组解集:同大取大;解不等式组得而该不等式组的解集是3>x ,∴m≤3【“=”一定要考虑,这个题取“=”就满足题意】(6)关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧->-+--<-325251263x x a x x 有三个整数解,则a 的取值范围是65-<a ≤32-. 解:解该不等式组得∵有三个整数解∴2<x <6a+10∴三个整数解应该是3,4,5∴5<6a+10≤6 解得65-<a ≤32- 【自己解答】(7) 若方程组⎩⎨⎧+=++=+3654,2m y x m y x 的解x ,y 均为正数,求m 的取值范围. 提示:先将m 当作已知数,将x 、y 用含m 的式子表示出来,然后利用x ,y 均为正数,列出含m 的不等式组,解出m 的取值范围【自己解】2.解不等式(组)【不等式组的结果不能写成大括号的形式】(1)解不等式1213312+-≥+)(x x ,并将解集在数轴上表示出来; (2)解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+--+<-1215312)1(315x x x x ,并把它的解集表示在数轴上. 3.一元一次不等式(组)与一次函数利用一次函数解一元一次不等式(组):实质就是比较两个函数y 值得大小,函数值(y )越大,图像越高,函数值(y )越小,图像越高低,这里一般是让求自变量x 的取值范围,找出与x 轴交点的横坐标(指一元一次不等式),看让求图像在x 轴以上的自变量的取值范围(还是图像在x 轴以下的自变量的取值范围);或找出函数交点的横坐标,然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意.(1)函数y =kx +b (k 、b 为常数,k ≠0)的图象如图所示,则关于x 的不等式kx+b>0的解集为(C ).A .x>0B .x<0C .x<2D .x>2(2)直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为x<-14.一元一次不等式(组)应用题◆一件商品的进价是500元,标价为600元,打折销售后要保证获利不低于8%,则此商品最多打9折.商品销售中需注意的地方:①“进价”也叫“成本”;“售价”也叫“标价”;②获利是在进价的基础上获利;打折是在售价基础上打折;③打几折就是给售价×10x 解:设可以打x 折.那么(600×10x -500)÷500≥8% 解得x ≥9.故答案为:9.◆某商贩去菜摊买黄瓜,他上午买了30斤,价格为每斤x 元;下午,他又买了20斤.价格为每斤y 元.后来他以每斤2y x +元的价格卖完后,结果发现自己赔了钱,其原因是(B ) x <y B .x >y C .x ≤y D .x ≥y定了如下两种优惠方式:第一种:买一支毛笔附赠一本书法练习本;第二种:按购买金额打九折付款。

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