与面积有关的几何概型
[例 2] (1)有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，
则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为
()
(2)四边形 ABCD 为长方形，AB＝2，BC＝1，O 为 AB 的中点，
在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概
率为
()
A.π4
B．1－π4
[活学活用] 1．(福建高考)如图，在边长为 1 的正方形中随机撒
1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估 计阴影部分的面积为________．
解析：依题意，得SS正阴方影形＝1108000，所以1S×阴影1＝1108000， 解得 S 阴影＝0.18. 答案：0.18
[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为 3，由|x|≤1 得 x∈[－1,1]， 而区间[－1,1]的长度为 2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取 一个数 x，|x|≤1 的概率 P＝23.
(2)设上一辆车于时刻 T1 到达，而下一辆车于时刻 T2 到达， 则线段 T1T2 的长度为 15，设 T 是线段 T1T2 上的点，且 T1T＝5， T2T＝10，如图所示．
(3)如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它 出现的概率为 1，但不是必然事件．
与长度有关的几何概型
[例 1] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数 x，则|x|≤1 的概率为 ________．
(2)某汽车站每隔 15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时 刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过 10 min 的概率．
π C.8
D．1－π8
[解析] (1)根据几何概型的面积比，选项 A 中的游戏盘中奖概 率为38，选项 B 中游戏盘的中奖概率为13，选项 C 中游戏盘的中奖 概率为2r22－r2πr2＝4－4 π，选项 D 中游戏盘的中奖概率为πrr22＝π1，故 A 游戏盘的中奖概率最大．
(2)如图所示，长方形面积为 2，以 O 为圆心， 1 为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2， 因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为π2÷2＝π4，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 1－π4.
[答案] (1)A (2)B
[类题通法] 1．与面积有关的几何概型的概率公式 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则 其概率的计算公式为： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的面区积域面积. 2．解与面积相关的几何概型问题的三个关键点 (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题； (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何 特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率．
记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车站
的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发生． ∴P(A)＝TT11TT2的的长长度度＝155＝13，
即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是13.
[答案]
2 (1)3
[类题通法] 1．几何概型概率问题的一般步骤 (1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域 D； (3)把所求随机事件 A 转化为与之对应的区域 I； (4)利用概率公式计算． 2．与长度有关的几何概型问题的计算公式 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其 概率的计算公式为： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域长度.
3.3
几何概型
3.3.1 几何概型
[提出问题] 每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引 顾客，其中某商场设立了一个可以自由转动的 转盘，规定顾客消费 100 元以上，就能获得一 次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正 好对准①，②或③区域，顾客就可以分别获得 100 元、50 元、20 元的购物券(转盘被等分成 20 个扇形)，一位顾 客消费了 120 元．
P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 .
[化解疑难] 理解几何概型应关注三点
(1)几何概型中，每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机 事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的 大小有关；
(2)如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、 体积均为 0，则它出现的概率为 0，但不是不可能事件；
问题 1：这位顾客获得 100 元购物券的概率与什么因素有关？ 提示：与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关． 问题 2：在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概 率相等吗？ 提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等． 问题 3：如何计算该顾客获得 100 元购物券的概率？ 提示：用标注①的扇形面积除以圆的面积．
[导概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)
成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多个 ． (2)每个基本事件出现的可能性 相等 ．
3．几何概型概率公式
在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式为：
[活学活用] 1．(湖北高考)在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m
的概率为56，则 m＝________. 解析：由几何概型知：56＝m－6－2⇒m＝3. 答案：3
2．一个路口的红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿 灯亮的时间为 40 秒．当你到达路口时，看见下列三种情况的 概率各是多少？ (1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．
解：在 75 秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于 几何概型． (1)P＝红灯 全亮部的时时间间＝30＋3400＋5＝25. (2)P＝黄灯 全亮部的时时间间＝755＝115. (3)P＝不是全红部灯时亮的间时间＝黄灯亮全或部 绿灯时亮间的时间＝4755＝35，或 P ＝1－P(红灯亮)＝1－25＝35.