《离散数学》单元测试（集合论）
3.1集合的基本概念
1.设Ａ、Ｂ、Ｃ是集合，确定下列命题是否正确，说明理由。
（1）Ф⊆Ф
（2）Ф∈Ф
（3）Ф⊆{Ф}
（4）Ф∈{Ф}
（5）如果A∈B与B⊆C,则A⊆C
（6）如果A∈B与B⊆C,则A∈C
（7）如果A⊆B与B∈C,则A∈C
（8）如果A⊆B与B∈C,则A⊆C
2.有n个元素的集合Ａ的幂集ρ(A)的元素个数为多少？求下列集合的幂集合。
（1）Ф
（2）{Ф}
（3）{Ф,{Ф}}
（4）{a,b}
（5）{a,b,{a,b}}
（6）{1，{1}，2，{2}}
3.2 集合的运算
1.设A，B是两个集合，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则B－A= ，ρ（B）－
ρ（A）= 。
2.全集E={a，b，c，d，e}，A={a，d}，B={a，b，e}，C={b，d}，求
，ρ（A）∩ρ（B）
A B C=
()
= 。
3.下列命题正确的是（）。
A．φ∩{φ}=φB．φ∪{φ}=φC．{a}∈{a，b，c} D．φ∈{a，b，c}
4.确定下列各式的值：
Ф∩{Ф}＝
{Ф,{Ф}}－Ф＝
{Ф,{Ф}}－{Ф}＝
6.证明下列各等式：
A∩(B－A)＝Ф
A∪(A∩B)＝A
3.3 有穷集合的计数问题
掌握文氏图和容斥原理求解有穷集合的计数问题的方法，并会简单应用。
以教材的示例为基础。
第4章 二元关系
4.1二元关系的定义、表示方法与特性
1. A 和B 是任意两个集合，若序偶的第一个元素是A 的一个元素，第二个元素是B 的一个
元素，则所有这样的序偶集合称为集合A 和B 的 ， 记作A ⨯B ，即A ⨯B= 。
A ⨯B 的子集R 称为A 到B 的一个 。
若|A|=m ， B|=n ，则A 到B 共有 个不同的二元关系。
2. 设集合A ＝{a,b},B ＝{x,y},求笛卡尔乘积A ×B,B ×A,,A ×ρ(B)。
3. 证明：
(1) (A ∩B)×C=(A ×C)∩(B ×C)
(2) (A ∪B)×C=(A ×C)∪(B ×C)
4. 设A={a,b},B={x,y},则从A 到B 的二元关系共有多少个？请分别列出。
5. 设集合A={a,b,c,d},B={1,2,3},R 是A 到B 的二元关系，R={<a,1>,<a,2>,<b,2>,<c,3>,<d,1>,<d,3>},写出R 的关系矩阵和关系图。
6. 设集合 A={1，2，3}，A 上的关系R={<1，1>， <1，2>， <2，2>， <3，3>， <3，2>}，则R 不具备（ ）。
A 自反性 B. 反自反性 C. 对称性 D. 反对称性 E. 传递性
7.
设集合A={a,b,c},R 是A 上的二元关系，R={〈a,a 〉,〈a,b 〉,〈a,c 〉,〈c,a 〉}，那么R 具备（ ）。
A 自反性 B. 反自反性 C. 对称性 D. 反对称性 E. 传递性 4.2 关系的运算（合成、逆运算、闭包运算）
1． 集合A={a 1,a 2,a 3},B={b 1,b 2,b 3,b 4},C={c 1,c 2,c 3,c 4};
R 是A 到B 的二元关系，R={<a 1,b 2>,<a 1,b 3>,<a 2,b 1>,<a 2,b 4>,<a 3,b 3>};
S 是B 到C 的二元关系，S={<b 1,c 1>,<b 1,c 2>,<b 2,c 3>,<b 3,c 4>,<b 4,c 4>}。
求复合关系R оS 。
2． 设集合{1,2,,10}A = ，A 上的二元关系R={<x,y>|x,y ∈A,x+3y=12}，试求R n 。
3． 设R ，S 是二元关系，证明：111)(---=R S S R 。
4． 集合},,,{d c b a R =，R 是集合A 上的关系，{,,,,,}R a b b a b c =<><><>，求
)(),(),(R t R s R r ，并分别画出它们的关系图。
4.3 等价关系及划分
1. R 是集合A 上的二元关系，如果关系R 同时具有 性、 性
和 性，则称R 是等价关系。
2. R 是集合A={a ，b ，c ，d ，e ，f }是上的二元关系， R={〈a ，d 〉，〈d ，a 〉，〈a ，e 〉，〈e ，a 〉，
<d ，e>，<e ，d>，<b ，f>，<f ，b>}∪I A
（1） 画出R 的关系图，判断R 是否为等价关系；
（2） 如果是等价关系，则求A 中各元素的等价类，并写出A/R ；否则说明原因。
3. 集合A={a,b,c,d,e,f,g}，划分л={{a,c,e},{b,d},{f,g}}，求划分л所对应的等价关系R 的关系图表
示。
4. 集合A={1,2,3,4,5}，求下列等价关系所对应的划分。
（1） R 是A 上的全域关系（即R=A ×A ）。
（2） R 是A 上的相等关系（即R={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈4,4〉,〈5,5〉}）。
（3） R 是A 上模2同余关系。
4.4偏序关系
1. 设集合},,,,{e d c b a A =上的关系R 为
{,,,,,,,,,,,,,,R a a b b c c c d d d d e e c e e =<><><><><><><><>
，写出R 的关系矩阵,画出R 的关系图,说明R 是不是偏序关系?
2. 设集合}24,12,8,6,4,3,2{=A ，R 为A 上的整除关系，
（1） 画出偏序集<A ， R>的哈斯图；
（2） 写出集合A 中的最大元、最小元、极大元、极小元；
（3） 写出A 的子集}12,6,3,2{=B 的上界、下界、最小上界、最大下界。
4. <A,R>是偏序集，A={a,b,c,d,e},图示为其关系图，试将关系图改画成哈斯图。
5. （A,R ）是偏序集，图示为其哈斯图，试写出R 的关系矩阵。
4.5 函数的定义和特殊函数类
1. 集合A={x,y,z},B={1,2,3},试说明下列A 到B 的二元关系中，哪些能构成函数？
（1） {<x,1>,<y,1>,<z,1>}
（2）{<x,2>,<y,3>}
（3）{<x,3>,<y,2>,<z,3>,<y,3>}
（4）{<x,2>,<y,1>,<y,2>}
2.下列函数，哪些是单射函数、满射函数、双射函数？
A.f：N→N，f（n）＝２n
B.f：I→I，f(i)＝|ｉ|
C.f：A→B，A={0,1,2}，B={0,1,2,3,4,} ，f(a)＝a2
D.f：R→R，f(r)＝r+1
3.设E={a,b,c,d}，A={a,d}，则A的特征函数ΨA为。
4.设A={a,b,c}，B={1,2,3}，则：
（1）A到B共可产生个不同的函数。
（2）A到B共可产生个不同的双射函数。