2 G(s)H(s)=k(2s+1)/s(s+5)
写出根轨迹方程，求出对应的零点和极点。
k(2s +1)
1+
= 0,
s(s + 5)
系统2： 零点：-0.5 极点为0, -5 Kg=2k
1+ 2k(s + 0.5) = 0 s(s + 5)
第四章 线性系统的根轨迹法
4.2 根轨迹的绘制法则
【 根轨迹性质 1】 根轨迹是连续的 【 根轨迹性质 2】 根轨迹关于实轴是对称的
4
将特征根画在 s平面上
s1 -0.005 -0.4 -1 -1+j1.73 -1+j3.87
s2 -1.995 -1.6 -1 -1-j1.73 -1-j3.87
将特征根随增益的变化在s平 面上轨迹称为根轨迹
K=2 K=0.1 k=1
-2j
j k=0.1
-2
-1
0
-j
-2j
第四章 线性系统的根轨迹法
2个无穷远的零点
同理，对于 G(s)H (s) = k(s +1)(s + 2) s
1个无穷远的极点
第四章 线性系统的根轨迹法
【法则一】根轨迹的渐近线
根轨迹的渐近线限定了当根轨迹趋向于无穷远时，根轨 迹的走向与形状。即根轨迹沿一组渐近线趋向于无穷远
处的开环零点。
与正实轴的夹角记为 φa
2k +1 φa = n − m π (k = 0,1,..., n − m −1)
3
d1,2 =
2×3
= −1± 3
d1,2=-1.577,-0.422
d1 d2 是否均为分离点吗？
第四章 线性系统的根轨迹法
（2) 重根法
D(s) =1+G(s)H(s) = 0 dD(s) = 0
ds
d [1+
ds
kg
M(s)] N(s)
=
0
M ′(s)N(s) − N′(s)M (s) = 0
第四章 线性系统的根轨迹法
用重根法求例 4-1的根轨迹的分离点
G(s)H (s) =
K
s(s +1)(s + 2)
解：方法1 M(s)=1; N(s)=s(s+1)(s+2)=s 3+3s2+2s
由
M ′(s)N (s) − N ′(s)M (s) = 0
得
3s2 + 6s + 2 = 0
62 − 4×3× 2
第四章 线性系统的根轨迹法
【法则二】实轴上的根轨迹分布
S平面
s右方的实数极点与实数零点的总和为奇 数时， s就是根轨迹上的点。
-3 -2
-1 0
m
n
∑∠(s − zi ) − ∑∠(s − pj ) = (2k +1)π...
i=1
j =1
第四章 线性系统的根轨迹法
例4-1 设某负反馈系统的开环传递函数为
第四章 线性系统的根轨迹法
【法则五】根轨迹的入射角和出射角 px , px+1 为一对共轭开环复数极点，在
该极点处根轨迹的出射角为
px
-j
m
n
-2
∑ ∑ θ px = 1800 + ∠( px − zi ) − ∠( px − p j )
i =1
j =1
j≠x
θ px+1 = −θ px
-1
p x +1
j=1
对于物理可实现系统，一般满足 ，因此有n-m条根轨迹终止于无穷远处
n
∏ s− pj
li m K g =
j =1 m
∏ s → ∞
s − zi
i =1
= lim s→∞
s n−m = ∞
n-m个无穷远的零点
第四章 线性系统的根轨迹法
例如：
G(s)H (s) =
k
s(s +1)(s + 2)
有三条根轨迹，开环的零点 z=-1, 极点p=0,-2,-3,
G(s)H (s) =
K
s(s +1)(s + 2)
第四章 线性系统的根轨迹法
解：由 得
∑ ∑ m 1
n1
=
i=1 d − z i j=1 d − p j
11 +
+
1
=0
d d +1 d +2
3d 2 + 6d + 2 =0
d (d +1)(d + 2) 3d 2 + 6d + 2 = 0
62 − 4× 3× 2
第四章 线性系统的根轨迹法
模值条件 幅角条件
n
∏ s− pj
Kg =
j=1 m
∏ s − zi
i=1
m
n
∑ ∑ ∠ ( s − zi ) − ∠ ( s − p j ) = −1800 + 2kπ
i =1
j =1
k = 0, ±1, ±2, ...
根轨迹的幅角方程是确定 s平面上根轨迹的充分必要条件 ，这就是说，绘 制根轨迹时，只需用使用幅角方程即可；而当需要确定根轨迹上各点的 Kg值时，才需要使用模值方程。
d 1,2 = − 2 ± 2
概略画出下列系统的根轨迹
G (s )H (s ) = k (s + 1) s2 + 2s + 2
d1 d2 是否均为分离点吗？
根轨迹示例1
j
j
j
j
00
00
同学们，头昏了吧？
j
j
j
0
00
j j
00
j j
0
第四章 线性系统的根轨迹法
【法则四】根轨迹与虚轴的交点 1） 在D(s)=0中，令s=jw，
G(s)H (s) =
K
s(s +1)(s + 2)
试确定系统根轨迹的条数、起点和终点、渐近线及实轴上的根轨迹 分布。
解 三条根轨迹，分别起始于 0，-1，-2，沿渐近线区域无穷远
渐进线与实轴交点坐标
n
m
-2
-1
0
∑ ∑ σa
=
i =1
pi − zj
j =1
n-m
= 0 −1−2 3−0
= −1
2k +1 1 5
第四章 线性系统的根轨迹法
4.1.2 闭环零极点与开环零极点的关系
（1）系统的闭环零点由前向通道G(s)的零点和反馈通道 H(s)的极点两部分组成。单位反馈系统的闭环零点就是其开 环零点。 （2）系统的闭环根轨迹增益等于其前向通道的根轨迹增益。 对于单位反馈系统，系统的闭环根轨迹增益等于其开环根轨 迹增益。 （3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益有关。
第四章 线性系统的根轨迹法
z x , z x+1 为一对共轭开环复数零点，在
该极点处根轨迹的入射角为
zx
-j
mnຫໍສະໝຸດ -2∑ ∑ φzx = 1800 − ∠(zx − zi ) + ∠(z x − p j )
i =1
j =1
i≠x
φzx +1 = −φzx
-1
z x +1
第四章 线性系统的根轨迹法
求图示系统 1+j和1-j的出射角
得 z1 = −2 p1 = 0, p2 = −1
渐近线与实轴正方向的夹角为 1800， 即渐近线沿负实轴趋于无穷远
第四章 线性系统的根轨迹法
G(s)H (s) = k(s + 2) s(s +1)
画出实轴上的根轨迹。
解： 存在分离点，为 d,满足
由
得
11
1
+=
d d +1 d +2
d 2 + 4d + 2 = 0
S平面 Im
Re
-2
-1
0
第四章 线性系统的根轨迹法
4.2 根轨迹的绘制法则
首先： 写出特征方程并化成零极点的形式
例如：某开环系统的传递函数为 1. G(s)H(s)=k(s+3)/s(s+2)
1+ G(s)H (s) = 0
m
∏ k g (s − zi )
i=1 n
= −1
∏ (s − pj)
j =1
【 根轨迹性质 3】 根轨迹的条数 【 根轨迹性质 4】 根轨迹的起点与终点
第四章 线性系统的根轨迹法
根轨迹始于开环的极点，终止于开环的零点。
起点
m
n
∏ ∏ Kg (s − zi ) + (s − pj ) = 0
i=1
j=1
终点
∏ ∏ m
1n
i=1 (s − zi ) + Kg
(s − pj) = 0
第四章 线性系统的根轨迹法
【法则三】根轨迹的分离点与会合点 在复平面上，两条或两条以上的根轨迹相遇以后又立即 分开的点称为分离点或会合点 。
在分离点或会合点上，根轨迹的切线与正实轴之间 的夹角称为根轨迹的分离角。分离角按下式计算：
θd =(2k +1)π / L, k = 0,±1,±2,...
L为相遇根轨迹的条数
第四章 线性系统的根轨迹法
4.1 控制系统的根轨迹
R(s)
C(s)
k 1/s(s+2)
4.1.1 根轨迹的基本概念
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征 方程式的根在s平面上的变化轨迹。
例如，某系统开环传递函数 闭环环传递函数