习题三 3.1计算积分2Cz dz ⎰，其中C 是：（1）原点到()2i +的直线段； （2）原点到2再到()2i +的折线； （3）原点到i 再沿水平到()2i +的折线。
解：（1）C 的参数方程为()()22201z t i t tit =+=+≤≤()2dz i dt =+于是()()()2221222113Ci i d z d t i z t +++==⎰（2）12C C C =+，1C 参数方程为()02z tt =≤≤，2C 参数方程为()201z itt =+≤≤()()122212222122113CC C z dz z dz z dz t dt id it i t +=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰ （3）12C C C =+，1C 参数方程为()01z itt =≤≤，2C 参数方程为()02z t it =+≤≤()()()12212222212113CC C z dz z dz z dz it idt dt t i i +=+++==⎰⎰⎰⎰⎰ 3.2设C 是,i z e θθ=是从π-到π的一周，计算： （1）()Re Cz dz ⎰；（2）()Im Cz dz ⎰；（3）Czdz ⎰解：cos sin i z e i θθθ==+，()sin cos dz i d θθθ=-+（1）()()Re cos sin cos Cz dz i d i ππθθθθπ-=-+=⎰⎰；（2）()()Im sin sin cos Cz dz i d ππθθθθπ-=-+=-⎰⎰；（3）()()cos sin sin cos 2Czdz i i d i ππθθθθθπ-=--+=⎰⎰3.3计算积分Cz zdz ⎰，其中C 是由直线段11,0x y -≤≤=及上半单位圆周组成的正向闭曲线。
解：12C C C =+，1C 表示为z x iy =+，()11,0x y -≤≤=；2C 表示为()cos sin 0z x iy i θθθπ=+=+≤≤，()sin cos dz i d θθθ=-+，()()1211cos sin sin cos CC C z zdz z zdz z zdzx xdx i i d iπθθθθθπ-=+=+--+=⎰⎰⎰⎰⎰3.5沿下列指定曲线的正向计算积分()21C dzz z +⎰ 的值：（1）1:2C z =；（2）3:2C z =；（3）1:2C z i +=；（4）3:2C z i -=。
解：()()()11122f z z z i z i =---+ （1）()2111112002221C C C C dz dz dz dz i i z z i z i z z ππ=--=--=-++⎰⎰⎰⎰ ； （2）()21111120221C C C C dz dz dz dz i i i z z i z i z z πππ=--=--=-++⎰⎰⎰⎰ ； （3）()21111100221C C C C dz dz dz dz i i z z i z i z z ππ=--=--=--++⎰⎰⎰⎰ ； （4）()21111120221C C C C dz dz dz dz i i i z z i z i z z πππ=--=--=-++⎰⎰⎰⎰3.6设区域D 为右半平面，z 为D 内的圆周1z =上的任意一点，用在D 内的任意一条曲线C 连接原点与z ，证明：20Re 14z d επε⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰。
证明：函数211ε+在右半平面解析，故从0到z 沿任意曲线C 的积分与路径无关，积分路径换为先沿实轴从0到1，再沿圆周到z 点。
1222000=111i zi d dx ie d x e ηθηεηε++++⎰⎰⎰ 042cos id θπηη=+⎰所以20Re 14z d επε⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰3.8设C 为正向椭圆22149x y +=，定义()22C f z d z εεεε-+=-⎰ ，z 不在C 上，求()()()1,,f f i f i '''-。
解： z 在C 内部时，22zεεε-+-在=z ε处不解析，()()22222C f z d i z z z εεεπε-+==-+-⎰ ，()()211224z f i z z i ππ==-+=；()()()22122z if i i z i ππ='=-=-+；()4f i i π''-=3.9计算下列积分： （1）2siniizdz ππ-⎰；（2）11izze dz +⎰；（3）()212iiz dz +⎰；（4）()()1ln 11iz dz z ++⎰解：（1）()21sin 1cos 22iiii zdz z dz ππππ--=-⎰⎰sin 2sin 22424z i z iz z z z ππ==-⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 22ii ππ=-； （2）()()11111111111iiz z i z i zi i ze dz ze e dz i e e ie ++++++=-=+-=⎰⎰；（3）()()23111112233ii i iz dz iz i -++=+=⎰； （4）()()()()22211ln 111ln 1ln 1ln 2122ii z dz z i z +⎡⎤=+=+-⎣⎦+⎰ 2211ln 2ln 2224i π⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦223ln 2ln 23288i ππ=--+ 3.10设()32e f z dz z πεεε==-⎰ ，求()(),f i f i -；当2z >时，求()f z 。
解：z 在2z <内部时，3ezπεε-在=z ε处不解析，()3322z e f z dz ie z πεπεπε===-⎰ ， ()(3322z iz if i ie ie i πππππ====-； ()(3322z i z if i ieiei πππππ-=--===+；当2z >时，3ezπεε-将处处解析，所以()320e f z dz z πεεε===-⎰3.11沿下列指定曲线的正向计算各积分： （1）()5cos ,:11Czdz C z r z π=>-⎰ ；（2）()()231,:111Cdz C z r zz =<--⎰ ；（3）2sin 3,:22Czdz C z z π=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰ ； （4）()3,:1,zCe dz C z a z a =-⎰ 为1a ≠的任何数；（5）2sin ,:229C zdz C z i z -=+⎰ ；（6）123cos C C zdz z +⎰，其中1:2C z =取正向，2:3C z =取负向。
解：（1）cos z π在由:1C z r =>围成的区域内解析，()()()5415cos 2cos 4!121z C zi idz z z ππππ===--⎰ ；（2）函数()()()23111f z z z =--在由:1C z r =<围成的区域内无奇点，处处解析，所以()()231011Cdz zz =--⎰ ；（3）函数()2sin 2zf z z π=⎛⎫- ⎪⎝⎭在由3:2C z =围成的区域内无奇点，处处解析，所以2sin 02Czdz z π=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰ ；（4）当1a >时，()()3ze f z z a =-在由:1C z =围成的区域内无奇点，处处解析，所以()30zCe dz z a =-⎰ ；当1a <时，()()3ze f z z a =-在由:1C z =围成的区域内有奇点z a =，()()322!zz a z aCe i dz e e i z a ππ=''==-⎰ ；（5）函数()2sin 9zf z z =+在由:22C z i -=围成的区域内有奇点3z i =-， 32sin sin sin 32sin 3sinh 393333z i C C zz z i z i dz dz i i z z i z i πππ=--====++-⎰⎰ ； （6）设2:3C z -=取正向，1212333cos cos cos C C C C z z zdz dz dz z z z -+=-⎰⎰⎰()()0022cos cos 2!2!z z i i z z ππ==''''=-0=3.12设()f z 在1z ≤上解析且()01f =，试求：()11122z f z z dz i z z π=⎡⎤⎛⎫±+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 。
解：()()()()221112111222z z z f z f z f z z dz dz i z z i z z ππ==⎡⎤+⎡⎤⎛⎫⎢⎥±+=± ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()2201z f z f z ='⎡⎤=±+⎣⎦()()()2221z z f z z f z =⎡⎤'=±⋅++⎣⎦()20f '=±。