凹凸曲线问题的求法
凹凸曲线问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养都是十分重要的．
1．曲线的凹凸性与增量法
函数ｙ=ｆ（ｘ）、ｙ=ｇ（ｘ）、ｙ=ｈ（ｘ）、ｙ=φ（ｘ）的图象分别如下（图1）：
图1
显然前三个虽都是增函数，但上升的形状不同：函数ｙ=ｆ（ｘ）的图象是凸的，ｙ=ｇ（ｘ）的图象是凹的，ｙ=ｈ（ｘ）的图象是直线，而最后一个函数ｙ=φ（ｘ）的图象是增减交替，即凹凸交替（这里是先凸后凹）．这与日常生活中对凹凸形象的直观认识和理解是一致的． 下面我们用增量法来揭示这四个函数及其图象的本质特征和变化规律．设自变量ｘ每增加一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量为Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…，如图2所示．
图2
由图2可知，当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时，函数ｆ（ｘ）的相应增量 Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越小；函数ｇ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越大；函数ｈ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…，保持不变；而函数φ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…的变化是在ＯＡ′Ａ段上越来越小，在ＡＢ′Ｂ段上越来越大． 由此，对上述四个函数，我们可以说：对ｘ的每一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…）：若越来越小，则函数的图象为凸的；若越来越大，则函数的图象
为凹的；若先越来越小（或越来越大），再越来越大（或越来越小），则函数图象是先凸后凹（或先凹后凸）交替出现的．
弄清了上述四个函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．
2．增量法在凹凸曲线问题中的应用
例1向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深ｈ的函数关系的图象如图3所示，那么水瓶的形状是（图4中的）（）．（1998年全国高考题）
解：因为容器中总的水量（即注水量）V关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个单位增量Δｈ，V的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选Ｂ．
例2一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图5所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图6中的（）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》．
解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，V的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．
例3在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图7所示．现给出下面说法：
①前5分钟温度增加的速度越来越快；
②前5分钟温度增加的速度越来越慢；
③5分钟以后温度保持匀速增加；
④5分钟以后温度保持不变．
其中正确的说法是（）．
Ａ．①④Ｂ．②④Ｃ．②③Ｄ．①③
图3 图4
图5 图6
图7
解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，则ｙ相应的增量Δｙ越来越小，而5分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0，故选Ｂ．注：本题也选自《中学数学教学参考》2001年第1～合期的《试题集绵》，用了增量法就反成了“看图说画”．
例4如图8，液体从一个圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆锥形漏斗中液面上升的速度是一个常数，Ｈ是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则Ｈ与下落的时间ｔ（分）的函数关系用图象（图9）表示只可能是（）．
图8 图9
解：由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，因此液体从漏斗漏出的速度是一个常量．又由于圆锥的截面越向下越小，所以每当时间ｔ增加一个单位增量Δｔ，圆锥面下落的距离Ｈ的增量ΔＨ将越来越大，故Ｈ关于ｔ的函数图象是凹的，因此选Ｂ．
例5如图10所示，液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开始时漏斗中盛满液体，经过3分钟漏完，已知烧杯中液面上升的速度是一个常量，Ｈ是漏斗中液面下落的距离，则Ｈ与下落时间ｔ（分）的函数关系用图象表示可能是图11中的（）．
图10 图11
解：同例4分析可知，每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，Ｈ的变化开始增量ΔＨ越来越小，经过中截成后越来越大，故Ｈ关于ｔ的函数图象是先凸后凹，因此选Ｄ．
例6如图12所示，半径为2的⊙Ｍ切直线ＡＢ于Ｏ，射线ＯＣ从ＯＡ出发绕着Ｏ点顺时针旋转到ＯＢ．旋转过程中，ＯＣ交⊙Ｍ于Ｐ．记∠ＰＭＯ为ｘ、弓形ＰｎＯ的面积为Ｓ=ｆ（ｘ），那么ｆ（ｘ）的图象是图13中的（）．
图12 图13
解：易得弓形ＰｎＯ的面积为Ｓ=2（ｘ-ｓｉｎｘ）．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝ｓｉｎｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量Δｙｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的Ｓ的变化，开始时在ｘ∈［0，π］上其增量ΔＳｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，经过ＯＣ⊥ＡＢ后，即在ｘ∈［π，2π］上，则越来越小，故Ｓ关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选Ａ．。