i pij [( Rij E ( Ri )]
j 1
n
2
• 2、两项资产的投资组合的风险
p E[Rp E(Rp )]
2

E[(w1R1 j w2 R2 j E(w1R1 j w2 R2 j )]2
p w w2 2w1w22
p 2 w 2A 2 (1 w) 2 B2 2w(1 w)A BAB w 2 (0.2) (1 w) 2 (0.2) 2w(1 w) 0.2 0.2(.6) (0.16)w 2 (0.16)w (0.2)
• 对组合风险的X 进行微分可得：
• 例题1：某资产A的期望收益率E(RA)=10%，风险 σ A2=20% ；某资产B的期望收益率E(RB)=10%，风险 σ B2=20% 。资产A 和B的相关系数ρ AB=0.6 • 表面看起来将A和B按不同投资比例合成一投资组合好象 不能降低风险。但其实不然。现假设由资产A和B构成一 投资组合，其期望收益率为：E(RP)=wE（RA）+（1-w） E（RB）=w（0.1）+(1-w)(0.1)=10% 。 • 此处，X代表将资金投资于A的百分比。 • 投资组合的风险为：
• 所以，当N趋于无穷大时，即随着证券组合中证券种类 无限增加时，证券组合的非系统风险趋于0，但系统风 险无法分散掉。证券组合的风险取决于三个因数：各种 证券所占的比例；各种证券的风险；各种证券收益之间 的相关系数。
• 对投资者来说，由于他无法改变某种证券的风险，所以 投资者能够主动降低风险的有效途径就是改变上述三因 素中的第一项和第三项。就第三项而言，最理想的方法 莫过于选择相关系数等于-1的证券来建立组合，可以最 大限度的降低风险。但是，实际上绝大多数证券之间的 收益往往呈正相关，所以，选择相关系数等于0的证券 来建立组合是比较现实的方法。
1 2 1 2 1 2 2 2 p ( ) 10 ( ) 10 2 ( ) 102 2 2 2
2
• 3种证券投资组合的风险为 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 p ( ) 10 ( ) 10 ( ) 10 3 ( ) 102 3 3 3 3 • 以此类推，n中证券的风险为
p wi i wi w j ij
2 2 2 i 1 i 1 j 1 ik n n n
1 1 2 ( ) i ( ) 2 i 1 N i 1 N
N
2
N
2
• 因为：
1 1 1 2 2 2 ( N ) N 2 N N i 1
七、选择风险资产组合
• 1、有效边界 • 2、无差异曲线与最佳投资组合的选择 • 投资者如何在有效的投资组合中选择呢?这取决于投资 者对投资收益与风险的偏好.所谓无差异是指一个相对 较高的收益必然伴随着较高的风险，一个相对较低的收 益只承受较低的风险，这对投资者的效用是相等的。 • 无差异曲线与有效边界的切点即为投资者的最佳组合。 • 3、不同类型的投资者选择的最佳组合。 • （1）喜欢冒险的投资者选择有效边界上端部分的有效 组合。（2）保守的投资者选择有效边界下端部分的有 效组合；（3）风险中度的投资者选择有效边界中端部 分的有效组合。 • 以上分析仅就资本市场中风险资产而论。
p
2
1 2 n ( ) 102 n
• 从上面的公式中可以看出，随着证券数目n的增加，投 资组合的风险减少。当n为1时，风险为100；当n为2 时，风险水平为50；当n为3时，风险水平为33.33；当 n为4时，风险为25…；当n趋向无穷大时,风险趋向于0。 这说明随着投资组合中资产数目的增加，投资组合的 风险减少，但风险下降的幅度越来越小。
E( R p )
2 p (或 p )
图7-1 有效边界
4、规避风险型：投资者在面临具有相同的期望收益 率但风险不同的两种投资时，倾向选择较低风险 的投资。 5、最优组合：假定存在许多有效组合可供选择，最 优组合就是投资者最愿意选择的组合。 6、风险资产和无风险资产 风险资产是指未来要实现的收益是不确定的资产。 无风险资产是将来可实现的收益在当前是确定的 资产，通常指短期政府债券。
1 当N趋向无穷大时 N
六、投资组合的分散化原理
• 分散原理说明了建立证券组合可以降低风险的原因主要包括 资产之间的相关系数和资产数量对组合风险的影响。 1、资产之间的相关系数对投资组合风险的影响。例如：当证 券组合中只有两只证券时，证券组合的风险
p 2 w12 w22 2w1w2
2
1 p = N
2
n n i 2 2 2 1 + 2 ij = N N N（N-1）i 1 j1 i N i 1 n
i 2 2 （N-1）N — N + N 2 2 ij i 1
n
1 = N
i 2 N-1 — N + N ij 。 i 1
n — i 2 N-1 2 N 0，N 1，所以 p ij i 1 n
Wi Βιβλιοθήκη 1 N1 1 wi i wi w j ij = N N i 1 i 1 j 1
2

i 1
n
2 i 2 N
2

n
n
i 1 j i 1
ij
1 1 n 1 n i 2 n i 2 2 wi i N N i N N , N 为所有证券收益率风险的平均值。 i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n （N-1）N 2 j1 ij 共有 2 项，所以斜方差的平均值为 N（N-1）i 1 j1 ij = ij 。 i i 1 i
• 当 1,2 1 0，-1 ， • 证券组合的风险分别为：
p (w11 w 22 ) 2 w11 w 22 p w 2112 w 2 22 2 p (w11 w 22 ) 2 w11 w 22
• 由此可知，除非相关系数为1，二元投资组 合的风险始终小于单独投资这两种证券的 风险的加权平均数，既通过投资组合可以 降低风险。而且两种资产收益率之间的相 关系数越小投资组合的风险越小。
dp 2 dw d 2 p 2 dw
2
0.32x 0.16 0 x 0.5 0.32 0
• 所以当w=0.5时,投资组合的将会风险最低 σ p2=0.16 。这个投资组合不但与原来资产A和B 的期望收益率相同，而且风险也比A和B更低。原 因在于A和B的相关系数小于1，两者的相关系数 愈小，所组成的投资组合的风险愈小。
• 微分法：在确定预期的收益率目标后，要求资产 组合风险最小的有效组合，用数学语言表达为求 投资组合收益率方差的最小值，可利用拉格朗日 乘数法求解。
• 目标函数为资产组合的方差最小，限制条件有两 个：一是投资收益率达到预期水平；二是各种资 产的投资比例之和等于1，数学表达式如下：
min p 2 Xi X jij
• 对上式求极限
1 2 lim 0 N N
1 2 0 p N
2
N
2
• 即
• 在一投资组合中，当各证券的标准察及每两个证 券的相关系数一定时，减少投资风险的唯一办法 就是加入另一种证券，扩大投资组合规模。刚开 始加入的证券可以使风险减少的多些，以后随着 政权的数目增加，风险减少的程度递减。 • 例如：假设投资组合中各资产的相关系数为0， 每个证券的投资比例相同，且他们的标准差均为 10，则2种证券的投资组合的风险为：
E(Rp) I3 I2 I1
B
C A
2 (或 p ) p
最佳证券组合选择
七、有效边界的求解法
• 马柯威茨投资组合模型中有三种方法求有效边界的（1）
图解法； （2）线形规划法；（3）微分法。三种方法 求出的有效边界是一样的。 • 1、图解法：它的优点是能够用图形直观清晰地表示出 来，缺点是无法处理多种证券的投资组合分析。 • 2、线形规划法：该方法主要利用电脑技术来分析大型 投资组合问题，它能够处理含不等式的限制条件问题， 但所花成本较高。 • 3、微分法：该方法能够运用数学的计算方程式求解多 种证券的投资组合，缺点是无法处理含有不等式的限制 条件问题。
• 2、投资组合中证券的数量对风险的影响。组合中证券 种类N大于2时,假设: • （1）：该组合中每种证券所占的比例都是1/N； • （2）这N种证券各自的风险
1,2, N,都小于一个常数,
• （3）N种证券的收益彼此之间完全不相关，即相关系数 等于0。 • 在上述假定情况下，证券投资组合的风险为：
• 四、投资组合的期望收益率 • 1、单一期间投资组合的收益 • 2、风险资产组合的期望收益率
R P W1R1 W2 R 2 Wn R n
E(R P ) W1E(R1 ) W2E(R 2 ) Wn E(R n )
• 五、投资组合的风险 • 1、单一资产风险度量的方差
三、若干概念 1、可行组合：可行组合指在给定可用的资产组合 后，投资者能构造出的投资组合。 2、有效组合：在构造投资组合时，投资者在他们 可以接受的既定风险水平上，使他们投资的期望收 益率最大化，或者在某一特定期望收益率,其风险 比其他具有同等期望收益率的组合的风险更低（这 两条件为优控条件，Dominance Principles）,不存在 其它的比其预期收益率更高和风险更小的证券组合。 这种投资组合称为有效组合（efficient portfolios） 有效组合只含有系统风险，非系统风险已被完全消 除。 3、有效边界：在坐标轴上将有效组合的预期收益 和风险连接而成的轨迹。
• 二、资产组合理论的假设： • A：影响投资者决策有两个参数：期望收益率和方差；B： 投资者都是风险厌恶者； • C：所有的投资者都力图在风险既定的水平上取得最大 收益； • D：假设所有的投资者对全部风险资产的期望收益率和 方差都有相同的预期，即一致性预期； • E：所有的投资者具有共同的单期投资区间。 • F:风险与收益相伴而生。投资者在选择收益最高的证券 时，可能会面临最大的风险。投资者大多把资金分散在 几种证券上，建立一个证券组合以降低风险。分散话投 资在降低风险的同时也可能降低收益。