矩阵在自己专业中的应用及举例摘要:I、矩阵是线性代数的基本概念,它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用,许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。
II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等内容。
III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用,比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。
关键词:矩阵可逆矩阵图形学图形变换正文:第一部分引言在线性代数中,我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的内容,而这些内容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的,是其它一些学科的很好的辅助学科之一。
因此,能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事,而且对我们的学习只会有更好的促进作用。
在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有,但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。
在计算机图形学中,矩阵可以是一个新的额坐标系,也可以是对一些测量点的坐标变换,例如:平移、错切等等。
在后面的文章中,我通过查询一些相关的资料,对其中一些内容作了比较详细的介绍,希望对以后的学习能够有一定的指导作用。
在线性代数中,矩阵也占据着一定的重要地位,与行列式、方程、向量、二次型等内容有着密切的联系,在解决一些问题的思想上是相同的。
尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。
图形变换是计算机图形学领域内的主要内容之一,为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察,需要对图形实施一系列的变换,计算机图形学主要有以下几种变换:几何变换、坐标变换和观察变换等。
这些变换有着不同的作用,却又紧密联系在一起。
第二部分 研究问题及成果1. 矩阵的概念定义:由n m ⨯个数排列成的m 行n 列的矩阵数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann an an n a a a n a a a 212222111211 称为一个n m ⨯矩阵,其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数,i=1,2,3,…n ,又称为矩阵的元素。
A,B 元素都是实数的矩阵称为实矩阵。
元素属于复数的矩阵称为复矩阵。
下面介绍几种常用的特殊矩阵。
(1)行距阵和列矩阵仅有一行的矩阵称为行距阵(也称为行向量),如A=(a11 a12 .... a1n),也记为a=(a11,a12,.....a1n).仅有一列的矩阵称为列矩阵(也称为列向量),如a= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡12111an a a 。
(2) 零矩阵A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000000 记为o 或者0.(3) 方阵。
行数与列数相等的矩阵称为方阵.例如:A= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann an an n a a a n a a a 212222111211 为n n ⨯矩阵,称为n 阶方阵或者n 阶矩阵,简记为A=(an )n ,过元素a11,a22,a33,a44,.....ann,的直线为主对角线,主对角线上的元素为主对角元。
按方阵的元素排列所构造的行列式称为方阵的行列式。
(4) 对角矩阵。
主对角意外的元素全部为零的方阵称为对焦矩阵,常记为:A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann a a 0002200011 (5) 单位矩阵。
主对角线上的元素全部为1的对角矩阵称为单位矩阵,简记为E 或者I :A= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001 (6) 数量矩阵 。
主对角线上全相等的对角矩阵。
例如:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡c c c 000000 (其中c 为常数) 为一阶数量矩阵。
(7) 三角矩阵。
主对角线上方或下方的元素全部为零的方阵称为上(下)三角矩阵。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann n a a n a a a 00222011211 为n 阶上三角矩阵。
(8) 对称矩阵与反对称矩阵,在方阵A=(aij )n ,中,如果aij=aji (ij=1,2,3.。
),则称A 为对称矩阵,如果A 还为实矩阵,那么A 为实对称矩阵。
如果aij=-aji ,则称A 为反对称矩阵。
定义:两个同类型的矩阵,如果对应的元素相等,则称矩阵A 等于矩阵B 。
2 .矩阵的运算2.1 矩阵的加法⑴A+B=B|+A(加法交换律)⑵(A+B)+C=A+(B+C)(加法结合律)⑶A+0=0+A=A⑷A+(-A)=0.2.2 数乘矩阵定义1:数乘一矩阵等于这个数乘以矩阵中的每一个元素。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=kann kan kan n ka ka ka n ka ka ka kaij 212222111211)( 定义2:设A B 为同类型的矩阵,k ,l 为常数,则⑴1A=A⑵k (lA )=(kl )A⑶k (A+B)=KA+KB⑷(K+L)A=KA+LA.2.3 矩阵的乘法(1)矩阵的乘法不满足交换律。
(2)两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵。
(3)矩阵的乘法不满足消去律。
命题:(1)设A 为p m ⨯矩阵,则O o P K m k A ⨯⨯=,O O N M N P A ⨯⨯=(2)设A 为n m ⨯矩阵,则A A A A E E N m ==,其中E 为单位阵(3)设A 为m*p 矩阵,B 为p*q 矩阵,k 为数,则A(BC)=(AB)C (kA)B=A(kB)=k(AB)(4)J 矩阵满足数乘的分配律,矩阵乘积的行列式等于矩阵对应行列式的乘积。
2.4 矩阵的转置定义2.7 称m n ⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann an an n a a a n a a a 212222111211 的转置为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann n a n a an a a an a a 212221212111 命题:设A,B,C,1A ,2A n A 是矩阵,且让它们相应的行数和列数使相应的运算有意义,k 是数,则(1)A 的转置的装置等于A(2)B 与C 的和的转置等于它们转置的和(3)T T kA kA =)((4)T T T A B AB =)((5)若A 为n 阶矩阵,则M T T M A A )()(=(6)A 为对称矩阵的充要条件是A A T =,A 为反对称矩阵的充要条件为A A T -=2.5 可逆矩阵定义 设A 为n 阶矩阵,若存在n 阶矩阵B ,使得E BA AB ==,则称矩阵A 可逆,B 是A 的可逆矩阵,记作1-=A B定理 如果n 阶矩阵A 可逆,则它的逆矩阵唯一。
定义 设n ij a A )(=为n 阶矩阵,ij A 为A 中的元素ij a 的代数余子式,ij=1.2.3.......n ,则称矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A 212222111211 为A 的伴随矩阵,记为*A . 由伴随矩阵的定义,不难验证A E A A AA ==**定理 n 阶矩阵A 可逆的充要条件为0≠A ,如果A 可逆,则 *11A AA =-. 若n 阶矩阵A 的行列式不为零,即0≠A ,即称A 为非奇异矩阵,否则称A 为奇异矩阵,由上述公式可以求出A 的伴随矩阵。
推论 对n 阶矩阵A ,若有n 阶矩阵B 使得E AB =或者E BA =,则称矩阵A 可逆,且B A =-1.克拉默法则 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b 21β,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=321x x x x , 如果矩阵A 可逆,则线性方程组Ax=β存在唯一解β1-=A x 。
2.6 可逆矩阵的性质命题 设A ,B,),2,1(m i A i =为n 阶可逆矩阵,k 为非零常数,则n A A A AB kA A 211,,,-也是可逆矩阵,且(1)A A =--11)(;(2);1)(11--=A kkA(3);)(,)(11121121111-------==A A A A A A A B AB m n(4);)()(11--=T T A A(5);11AA =- (6);)()(11m m A A --=m 为正整数。
3 .矩阵的初等变换与矩阵的秩3.1 矩阵的初等变换定义 对矩阵的行(列)实行下列三种操作(或变换)之一,称为对矩阵实行了一次初等行(列)变换:(1)交换矩阵的两行(列);(2)矩阵的某一行(列)的元素乘以一个不等于零的数;(3)将矩阵某一行(列)的元素加上另一行(列)对应元素相同的倍数。
定义 满足一下条件的矩阵称为行阶梯型矩阵,简称为阶梯型矩阵;(1)非零行(元素不全为零的行)的标号小于零行(元素为零的行)的标号;(2)设矩阵有r 个非零行,第i 个非零行的第一个非零元素所在的列号为i t ,,,2,1r i =则.21n t t t 〈〈〈定理 任何矩阵都可以经过单纯的初等行变换化为阶梯形矩阵。
定义 一个阶梯型矩阵如果满足:(1)每一个非零行的第一个元素都为1;(2)每一个非零行的第一个元素所在的列的其他元素都为零, 则称它为简化的阶梯型矩阵(也称为规范的阶梯型矩阵),定义 如果一个非零矩阵的左上角为单位矩阵,其他位置的元素都为零,则称这个矩阵为标准型矩阵。
3.2 矩阵的秩定义 在矩阵n m ij a A ⨯=)(中任取k 行和k 列{}),,m in 1(n m k ≤≤位于这k 行和k 列的交叉点的2k 个元素,按照它们在矩阵A 中的相对位置组成的k 阶行列式称为矩阵A 的一个k 阶子式。
定义 若矩阵n m ij a A ⨯=)(中有一个r 阶子式不为零,而A 中所有的r+1阶子式(如果存在的话)都为零,则称r 为矩阵A 的秩,记为)(A r 或).(A rank 规定零矩阵的秩为零。
命题 (1)一个矩阵的秩是唯一的。
(2)设,)(n m ij a A ⨯=则{}.,m in )(0n m A r ≤≤0)(=A r 的充要条件是A=0.(3)若矩阵A 中有一个r 阶子式不为零,则;)(r A r ≥若矩阵A 中所有的r 阶子式全为零,则.)(r A r ≤(4)在矩阵A 中,任选s 行t 列,位于这s 行t 列交叉上的元素按它们在A 中的相对位置所构成的矩阵称为A 的一个子矩阵。
若1A 是A 的一个子矩阵,则).()(1A r A r ≤(5)).()(A r A r T =(6)阶梯型矩阵的秩等于它非零行的个数。
设,)(n m ij a A ⨯=如果),)(()(n A r m A r ==则称A 为行(列)满秩矩阵,简称满秩矩阵。
定理 初等变换不改变矩阵的秩。
3.3 初等矩阵的概念与性质定义 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵都是初等矩阵。
定理 用一个m 阶初等矩阵左乘一个n m ⨯阶矩阵A ,相当于对矩阵A 进行相应的初等行变换;用一个n 阶初等矩阵右乘一个n m ⨯阶矩阵进行初等列变换。