矩阵的合同变换
矩阵的合同变换
摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。
关键词：矩阵 秩 合同 对角化
定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ≅
定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap
-=，则称A 和B 相似A B :
定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得
T P AP B
=
那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对
称性、 性。
定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即1
2
m
P Q Q Q =L 。
此时7
11
T T T
m n P
Q Q Q -=L 边为一系列初等矩阵的乘积
若111T
T
T T m
n m
B P AP Q Q
Q AQ Q -==L L 则B 由A 经过一系
列初等变换得到。所以A B ≅，从而知合同变换是等价变换。
定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵
从而11
1
()PQ
QP ---=
又由于1
111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -=
T QQ =
1
QQ -=
E = 1
QP -∴为正交矩阵 所以A B :且A B ≅
定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质
证明：A B ≅即T
P AP B =，若对称阵，则T
A
A
=
()T T T
B P AP =
T T P A P
=
T
P AP = B =
所以B 边为对称阵
[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？
引理6：对称矩阵相似于对角阵⇔A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.
证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则
||r n s n r s I A λ=-⇔-=⇔-1200
0n x x x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦M M ，线性无关的解向量
个数为n r -个，即5个
又因属不同特征根的特征向量线性无关
⇔n 阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量 ⇔
n 阶对称阵可对角化
从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，
如对二次型应用
例 求一非线性替换，把二次型
123122313
(,,)262f x x x x x x x x x =-+
二次型`
2
3
(,,)f x x x 矩阵为
011103130A ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
对A 相同列与行初等变换，对矩阵E ，施行列初等变换
212103230A -⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦→2
00020006⎡⎤
⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
1001111
101110
01101E ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
112233113111001x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
可把二次型化为标准型
222123123
(,,)226f x x x y y y =-+
解法（2）
212103
230A -⎡⎤
⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
2101020
22⎡⎤
⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
2001022022⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
2001002006⎡⎤⎢⎥⎢⎥
→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
此时2
22
1
2
3
1
231(,,)262
f x x x z
z z =-+
此时非线性退化替换为
11223311321112
001x z x z x z ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的
特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性
[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？
例3．用可逆性变换化二次型
222
123123123123(,,)(2)(2)(2)f x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-
解：222
112132233
:666666f x
x x x x x x x x --+-+
对二次型矩阵为
63336333
6A --⎡⎤⎢⎥--⎢
⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣
⎦
1
006006
00010999
63
30
000
002223639
9000336012216
118
1
00111
12
101010
22118010
101
02
10
0100118A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---
⎢⎥⎢⎥=→
→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎢
⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
E B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥标准形2212
f y
y =+，则
112233161801180
1x y x y x y ⎤⎢⎥
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
PTA B
=
[注]当P 改变两行的位置交换后，发现
00016186 3 310003631010181861833
600000111
1⎡⎤⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤
⎡⎤⎥⎥
⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎣
⎦
定理2：在A 为对角线上元素相等，其余元