矩阵的合同变换矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。

在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。

关键词：矩阵 秩 合同 对角化定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ≅定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap-=，则称A 和B 相似A B :定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B=那么就说，在数域F 上B 与A 合同。

以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。

定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12mP Q Q Q =L 。

此时711T T Tm n PQ Q Q -=L 边为一系列初等矩阵的乘积若111TTT T mn mB P AP Q QQ AQ Q -==L L 则B 由A 经过一系列初等变换得到。

所以A B ≅，从而知合同变换是等价变换。

定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵从而111()PQQP ---=又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -=T QQ =1QQ -=E = 1QP -∴为正交矩阵 所以A B :且A B ≅定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明：A B ≅即TP AP B =，若对称阵，则TAA=()T T TB P AP =T T P A P=TP AP = B =所以B 边为对称阵[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？引理6：对称矩阵相似于对角阵⇔A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则||r n s n r s I A λ=-⇔-=⇔-12000n x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M M ，线性无关的解向量个数为n r -个，即5个又因属不同特征根的特征向量线性无关⇔n 阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量 ⇔n 阶对称阵可对角化从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，如对二次型应用例 求一非线性替换，把二次型123122313(,,)262f x x x x x x x x x =-+二次型`23(,,)f x x x 矩阵为011103130A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对A 相同列与行初等变换，对矩阵E ，施行列初等变换212103230A -⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦→200020006⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦100111110111001101E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦112233113111001x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦可把二次型化为标准型222123123(,,)226f x x x y y y =-+解法（2）212103230A -⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦210102022⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦2001022022⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦2001002006⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦此时2221231231(,,)262f x x x zz z =-+此时非线性退化替换为11223311321112001x z x z x z ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？例3．用可逆性变换化二次型222123123123123(,,)(2)(2)(2)f x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-解：222112132233:666666f xx x x x x x x x --+-+对二次型矩阵为633363336A --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦10060060001099963300000022236399000336012216118100111121010102211801010102100100118A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦E B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥标准形2212f yy =+，则1122331618011801x y x y x y ⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦PTA B=[注]当P 改变两行的位置交换后，发现00016186 3 3100036310101818618336000001111⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦定理2：在A 为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有TP AP B =，则调整P 的任意两行，对角阵形式不变。

证明：设初等变换的对调变换矩阵为J ，显然TT T JJ E J AJ JAJ A===于是有()()()()()()t T T T T T T T B P AP P EAEP P J J A J J P JP JA JP JP A JP =====而P 与JP 相比仅是行的排列顺序不同， 因此任意调整P 的行，所得对角阵相同。

[注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢？例4．求实对称矩阵220212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求可逆阵P使得TP AP 为对角阵32212132222202020212012010020020004100110112010010012010101c c c c r r r r A E -++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤=−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112400112010001002T P P AP BB -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦121121100P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦我们得到11T PAP B =定理7：设,TP AP B A = 对称矩阵，B 为对角矩阵，若要调换B 对角线上任意两个元素的位置得到1B ，则只要调控B 中对左的两列，可得到P ，使得11T P AP B =，即P 的列与B 中元素的对应性。

证明：初等调换矩阵为J ，显然TJJ=1111()()T T T T B J BJ J P APJ PJ A PJ P AP====QP ∴与1P 相比，只是列的排列顺序发生了改变P∴的列与B 的对角线上元素具有对应性自己写例定理8：如果对角线上的元素分别扩大22212,,nC C C -得2B ，则不要将P 中对应的对应角线元素扩大11C ，即可得到2P 使得222TP AP B =证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为2J （2J 对角线上第J 个元素1C ）形1221C J C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则有22222()T T BJ BJ J J ==2222211()T T T TB J P PJ PJ J APJ P AP ===Q2B ∴中第J 个元素为B 的21C 倍而22P PJ =，且其2P中对角线J 个元素是P 中对角线元素CJ 倍。

例：已知对称矩阵121121*********0A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦求可逆矩阵P ，使TP AP 且对角形式解10111001031103111131012211101120A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦1000100010000301030003117770001220003330121700030113⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦对单位阵E 进行相应列初等变换得11223101030011001E P ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则有1313733TP AP ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦141111B E ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则此时有111223110033300171003P ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦得111T PAP B =综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系，而且其本身也有着变换矩阵多样多样，和结果的不确性，在对其特 性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。

主要参考文献[1]北大数学系，高等代数第二版[2]上海交大线性代数编写。

线性代数（第三版）[M][3]张禾瑞高等代数[M][4]付立志《对称矩阵对角化相似变换模型》[5]王晓玲《矩阵三种关系问联系》[6] Brickell EF A Few Results in message Autheutication congress Numerantium 1984 43 141－154矩阵的合同变换及性质定义：设A，B是数域F上两个阶矩阵，如果存在一个阶可逆矩阵P使得TB P AP=成立，那么B与A合同特性：合同变换具有模型化，程序化的简便性。

引理1：在矩阵中，任意对角矩阵与合同J 对角阵证明：①数学归纳法当1n=时，定理显然成立设1n-阶对称阵成立，A上阶n>时，定理对1对称囝若0A=则A本身已为对角阵不妨设0A ≠（1）讨论A 的对角线上元素不全为0的情况，这都可通过三行或列初等变换，使得11121121000s s aE E E AE E E A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L这里1A 是1n -阶对称阵，由归纳假设，存在则有1n -阶可逆阵1a ，使211100T c QA Q cn ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦现取1211000,0sQ P E E E QQ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M则111121122111000000T T T T T S S T n a a P AP Q E E E AE E E Q c Q A Q c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦L L L M（2）若0,1,2,,iiai n==L ，由0A =，可通过对应的行列初等变换，使问题归结到i 的情怀合同矩阵变换的应用，主要应用于二次型上，而二次型主要对积矩阵，而二次型12(,,)T n f x x x x AX=L 化简，一般都归结为对称实矩阵A的合同变换在特性1：合同变换具有模型化，程序化的简便性定理1：若在对称矩阵A 的下六并上一个单位矩阵，作列变换，则对的行与列分别六色以一系列的对称，初等变换使其式为对角阵时， 单位阵成为A 的合同变换矩阵。