§1 回归分析1．1 回归分析1．2 相关系数一、基础过关1．下列变量之间的关系是函数关系的是( ) A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4acB．光照时间和果树亩产量C．降雪量和交通事故发生率D．每亩施用肥料量和粮食产量2．在以下四个散点图中，其中适用于作线性回归的散点图为( )A．①②B．①③C．②③D．③④3．下列变量中，属于负相关的是( ) A．收入增加，储蓄额增加B．产量增加，生产费用增加C．收入增加，支出增加D．价格下降，消费增加4．已知对一组观察值(x i，y i)作出散点图后确定具有线性相关关系，若对于y＝bx＋a，求得b＝0.51，x＝61.75，y＝38.14，则线性回归方程为( )A．y＝0.51x＋6.65 B．y＝6.65x＋0.51C．y＝0.51x＋42.30 D．y＝42.30x＋0.515．对于回归分析，下列说法错误的是( ) A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B．线性相关系数可以是正的，也可以是负的C．回归分析中，如果r2＝1，说明x与y之间完全相关D．样本相关系数r∈(－1,1)6．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归方程必过( )A.点(2,3) BC．点(2.5,4) D．点(2.5,5)7．若线性回归方程中的回归系数b＝0，则相关系数r＝________.二、能力提升8．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数计数的结果如下：若y与x9．若施化肥量x(kg)与小麦产量y(kg)之间的线性回归方程为y＝250＋4x，当施化肥量为50 kg时，预计小麦产量为________ kg.10．某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如下：若加工时间y与零件个数x之间有较好的相关关系．(1)求加工时间与零件个数的线性回归方程；(2)试预报加工10个零件需要的时间．11．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：已知∑5i＝1x i y i＝62，∑5i＝1x2i＝16.6.(1)画出散点图；(2)求出y对x的线性回归方程；(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)．12．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：(1)作出散点图；(2)求出回归方程；(3)计算相关系数并进行相关性检验；(4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．三、探究与拓展13．从某地成年男子中随机抽取n个人，测得平均身高为x＝172 cm，标准差为s x＝7.6 cm，平均体重y＝72 kg，标准差s y＝15.2 kg，相关系数r＝l xyl xx l yy＝0.5，求由身高估计平均体重的回归方程y＝β0＋β1x，以及由体重估计平均身高的回归方程x＝a＋by.答案1．A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.C 7．0 8.y ＝－11.3＋36.95x 9．45010．解 (1)由表中数据，利用科学计算器得x ＝2＋3＋4＋54＝3.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i ＝1x i y i ＝52.5，∑4i ＝1x 2i ＝54， b ＝∑4i ＝1x i y i －4x y∑4i ＝1x 2i －4x2＝52.5－4×3.5×3.554－4×3.52＝0.7，a ＝y －b x ＝1.05，因此，所求的线性回归方程为y ＝0.7x ＋1.05.(2)将x ＝10代入线性回归方程，得y ＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，即加工10个零件的预报时间为8.05小时．11．解 (1)散点图如下图所示：(2)因为x ＝15×9＝1.8，y ＝15×37＝7.4，∑5i ＝1x i y i ＝62，∑5i ＝1x 2i ＝16.6，所以b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x 2＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－11.5， a ＝y －b x ＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，故y 对x 的线性回归方程为y ＝28.1－11.5x . (3)y ＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．所以，如果价格定为1.9万元，则需求量大约是6.25 t.12．解 (1)作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如下图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)列表计算：次数x i 成绩y i x 2iy 2ix i y i30 30 900 900 900 33 34 1 089 1 156 1 122 35 37 1 225 1 369 1 295 37 39 1 369 1 521 1 443 39 42 1 521 1 764 1 638 44 46 1 936 2 116 2 024 46 48 2 116 2 304 2 208 50512 5002 6012 550由上表可求得x ＝39.25，y ＝40.875， ∑8i ＝1x 2i ＝12 656，∑8i ＝1y 2i ＝13 731，∑8i ＝1x i y i ＝13 180， ∴b ＝∑8i ＝1x i y i －8x y ∑8i ＝1x 2i －8x 2≈1.041 5，a ＝y －b x ＝－0.003 88，∴线性回归方程为y ＝1.041 5x －0.003 88.(3)计算相关系数r ＝0.992 7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系． (4)由上述分析可知，我们可用线性回归方程y ＝1.041 5x －0.003 88作为该运动员成绩的预报值． 将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ＝49和y ＝57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57. 13．解 ∵s x ＝l xy n，s y ＝l xy n，∴l xy n＝rl xy n·l yyn ＝0.5×7.6×15.2＝57.76.∴β1＝l xyn l xy n＝57.767.62＝1， β0＝y －β1x ＝72－1×172＝－100.故由身高估计平均体重的回归方程为y ＝x －100.由x ，y 位置的对称性，得b ＝l xyn l xy n＝57.7615.22＝0.25，∴a ＝x －b y ＝172－0.25×72＝154.故由体重估计平均身高的回归方程为x ＝0.25y ＋154.1.3 可线性化的回归分析一、基础过关1．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其线性回归方程可能是( ) A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200 C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200 2．在线性回归方程y＝a＋bx中，回归系数b表示( ) A．当x＝0时，y的平均值B．x变动一个单位时，y的实际变动量C．y变动一个单位时，x的平均变动量D．x变动一个单位时，y的平均变动量3．对于指数曲线y＝a e bx，令u＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为( )A．u＝c＋bx B．u＝b＋cx C．y＝b＋cx D．y＝c＋bx4．下列说法错误的是( )A．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系B．把非线性回归化为线性回归为我们解决问题提供一种方法C．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系D．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决5．每一吨铸铁成本y c(元)与铸件废品率x%建立的回归方程y c＝56＋8x，下列说法正确的是( ) A．废品率每增加1%，成本每吨增加64元B．废品率每增加1%，成本每吨增加8%C．废品率每增加1%，成本每吨增加8元D．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元6．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是( ) A．直线l1和l2有交点(s，t) B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合二、能力提升7．研究人员对10个家庭的儿童问题行为程度(X)及其母亲的不耐心程度(Y)进行了评价结果如下，家庭1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，儿童得分：72,40,52,87,39,95,12,64,49,46，母亲得分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70.下列哪个方程可以较恰当的拟合( )A．y＝0.771 1x＋26.528 B．y＝36.958ln x－74.604C．y＝1.177 8x1.014 5 D．y＝20.924e0.019 3x8．已知x，y之间的一组数据如下表：则y与x9．已知线性回归方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________．10．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：（1）建立y与xx 时，y大约是多少（2）当811．某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示：0y关于x的回归方程．(保留三位有效数字)三、探究与拓展12．某商店各个时期的商品流通率y (%)和商品零售额x (万元)资料如下：散点图显示出x 与y y 决定于商品的零售额x ，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋b x.试根据上表数据，求出a 与b的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．答案1．A 2.D 3.A 4.A 5.C 6.A 7.B 8．(1.16,2.4) 9.11.6910．解 画出散点图如图(1)所示，观察可知y 与x 近似是反比例函数关系．设y ＝k x(k ≠0)，令t ＝1x，则y ＝kt .可得到y 关于t 的数据如下表：t 4 2 1 0.5 0.25 y1612521画出散点图如图(2)得：b ＝∑5i ＝1t i y i －5t y∑5i ＝1t 2i －5t2≈4.134 4，a ＝y －b t ≈0.791 7，所以y ＝4.134 4t ＋0.791 7，所以y 与x 的回归方程是y ＝4.134 4x＋0.791 7.。