第一章 函数的基本性质之单调性
一、基本知识
1．定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当
21x x <时，都有
))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。

重点 2．证明方法和步骤：
（1） 取值：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <； （2） 作差：)()(21x f x f -； （3） 变形：（如因式分解、配方等）；
（4） 定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或； （5） 根据定义下结论。

3．常见函数的单调性
时，
在R 上是增函数；k<0时，
在R 上是减函数
（2），在（—∞，0），（0，+∞）上是增函数，
（k<0时），在（—∞，0），（0，+∞）上是减函数，
（3）二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2
)()0(≠a ，
当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b
x 2-
=的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0<a 时函数)(x f 在对称轴a
b
x 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小；
4．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：
)(u f y = 增 ↗ 减 ↘ )(x g u = 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ ))((x g f y =
增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。

在函数)(x f 、)(x g 公共定义域内，
增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数． 5．函数的单调性的应用：
判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。

例题分析
例1：证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数。

例2：证明在定义域上是增函数。

例3：证明函数f(x)=x3的单调性。

例4：讨论函数y＝1－x2在[－1,1]上的单调性．例5：讨论函数f(x)＝的单调性．
例6：讨论函数
1
()(0)
f x x x
x
=+≠的单调性
例7：求函数的单调区间。

习题：求函数的单调
区间。

例8：设f(x)在定义域内是减函数，且f(x)＞0，在其定义域内判断函数y ＝[f(x)]2
.的单调性
例9：若f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
(x －1)2
x≥0
x ＋1 x ＜0，则f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________．
例10：对于任意x ＞0，不等式x 2
+2x-a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围。

例11：若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数m 的值为
习题：若函数,在上是增函数，则实数m 的范围为;
例12：若定义在R 上的单调减函数f(x)满足，求a 的取值范围。

习题：若定义在上的单调减函数f(x)满足，求a 的取值范围。

针对性训练
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数y ＝－x 2
的单调减区间为( )
A ．(－∞，0]
B ．[0，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，＋∞) 2．若函数y ＝kx ＋b 是R 上的减函数，那么( ) A ．k<0 B ．k>0 C ．k≠0 D．无法确定 3．下列函数在指定区间上为单调函数的是( ) A ．y ＝2
x ，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)
B ．y ＝2
x －1，x∈(1，＋∞)
C ．y ＝x 2
，x∈R D ．y ＝|x|，x∈R
4．已知函数f(x)＝x 2
＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( ) A ．f(－1)<f(1)<f(2) B ．f(1)<f(－1)<f(2) C ．f(2)<f(－1)<f(1) D ．f(1)<f(2)<f(－1) 二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若f(x)是R 上的增函数，且f(x 1)＞f(x 2)，则x 1与x 2的大小关系是________． 6．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则f(a 2
＋1)与f(a)的大小是________． 三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求函数f(x)＝x ＋2
x ＋1的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性．
8．定义在(－1,1)上的函数f(x)是减函数，且满足f(1－a)＜f(a)，求实数a 的取值范围．
9．(10分)函数f(x)＝x 2
－2ax －3在区间[1,2]上单调，求a 的取值范围．。