东莞理工学院信号与系统实验报告
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一、实验名称： 利用MA TLAB 进行离散时间信号与系统的Z 域分析(实验八)
二、实验目的
1、学会用MATLAB 进行Z 域部分分式展开；
2、学会用MATLAB 分析离散LTI 系统的特性；
3、学会用MATLAB 进行Z 正、反变换。
三、实验原理及内容
1、用MATLAB 进行Z 域部分分式展开
信号的Z 域表示式通常可用下面的有理分式表示
)()(1)(221122110z den z num z
a z a z a z
b z b z b b z F n n m m =++++++++=------ 为了能从系统的Z 域表示式方便地得到其时域表示式，可以将)(z F 展开成部分分式之和的形式，再对其取Z 反变换。
MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对)(z F 进行部分分式展开的函数residuez ，其调用格式为
),(],,[den num residuez k p r =
其中，num ，den 分别表示)(z F 的分子和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数，p 为极点，k 为多项式的系数。
若)(z F 为有理真分式，则k 为零。
例8－1 试用MATLAB 对
321431818)(-----+=z
z z z F 进行部分分式展开。
解：计算程序如下：
num=[18];
den=[18,3,-4,-1];
[r,p,k]=residuez(num,den)
运行结果为：
r=0.3600 0.2400 0.4000
p=0.5000 -0.3333 -0.3333
k=[]
从运行结果可以看出，32p p =，这表示系统有一个二重极点。
所以，)(z F 的部分分式展开为：
2111)
3330.314.03333.0124.05.0136.0)(---++++-=z z z z F （ 2、用MATLAB 分析离散LTI 系统的特性
如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为
1
1211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H 那么，系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可償助函整tf2zp 得到，ufrz ተ的貃用格式为
),(2],,[a b zp tf k p z =
式中，b 和ተ分娫伺ț EMBE 䁄 Equati ተn.3 )(z H 的分子和分母多项式的系数向量。
它的作用是将ተ的有琮分式表示式转换侺零极增益形式，即
)
())(()())(()(2121n m p z p z p z z z z z z z k z H ------= 例8－r 已知一离散因果LTI 系统的系统函数为
3
213213.0005.05.012)(------+--++=z z z z z z z H 求该系统的零极点。
解：将系统函数改写为
3
.0005.05.012)(232+--++=z z z z z z H 用tf2zp 函数求系统的零极点，其程序如下：
b=[1,2,1];
a=[1,-0.5,-0.005,0.3];
[r,p,k]=tf2zp(b,a)
程序运行结果为
r=-1 -1
p=0.5198 - 0.5346i 0.5198 + 0.5346i -0.5396
k=1
若要获得系统函数)(z H 的零极点分布图，可以直接应用zplane 函数，其调用格式为
),(a b zplane
式中，b 和a 分别为)(z H 的分子和分母多项式的系数向量。
它的作用是在Z 平面上画出单位圆、零点与极点。
如果已知系统函数)(z H ，求系统的单位脉冲响应][k h 和频率响应)(Ωj e H ，则可以用前面介绍过的impz 函数和freqz 函数。
例8－3 已知一离散因果LTI 系统的系统函数为
3
.0005.05.012)(232+--++=z z z z z z H 试画出系统的零极点分布图，求系统的单位脉冲响应][k h 和频率响应)(Ωj e H ，并判断系统是否稳定。
解：根据已知的)(z H ，用zplane 函数即可画出系统的零极点分布图。
而利用impz 函数和freqz 函数求系统的单位脉冲响应][k h 和频率响应)(Ωj e H ，需要将)(z H 改写成
3213213.0005.05.012)(------+--++=z
z z z z z z H 相应的MATLAB 程序如下：
b=[1,2,1];
a=[1,-0.5,-0.005,0.3];
figure(1);zplane(b,a);
num=[0,1,2,1];
den=[1,-0.5,-0.005,0.3];
h=impz(num,den);
figure(2);stem(h,'.');
axis([0,35,-1,3]);
xlabel('k');
title('Impulse Response')
[H,w]=freqz(num,den);
figure(3);plot(w/pi,abs(H))
xlabel('Frequency\omega')
title('Magnitude Response')
程序运行结果如图8－1～图8－3所示。
图8－1为系统函数的零极点分布图。
图中符号 表示零点，符号 旁的数字表示零点的阶数。
符号⨯表示极点。
图中的虚线画的是单位圆。
由图8－1可知，该因果系统的极点全部在单位圆内，故系统是稳定的。
3、用MATLAB 进行Z 正、反变换
MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 正变换的函数ztrans 和Z 反变换的函数iztrans ，其调用格式为
)(f ztrans F =
)(F iztrans f =
上式中的f 和F 分别为时域表示式和Z 域表示式的符号表示，可以用函数sym 来实现，其调用格式为
)(A sym S =
式中，A 为待分析表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。
例8－4 试分别ztrans 函数和iztrans 函数求
（1）][)cos(][k u ak k f =的Z 变换；（2）2
)1(1)(z z F +=
的Z 反变换。
解：（1）求][k f 的Z 变换程序如下：
f=sym('cos(a*k)');
F=ztrans(f) 图8－1 系统函数的零极点分布
图8－2 系统的脉冲响应 图8－3 系统的频率响应
或
syms a k
F=ztrans(cos(a*k))
运行结果为
F=(z-cos(a))*z/(z^2-2*z*cos(a)+1)
即
{}1
cos 2)cos (][)cos(2+--=a z z a z z k u ak Z （2）求)(z F 反变换的程序为
F=sym('1/(1+z)^2');
f=iztrans(F)
或
syms z
f=iztrans(1/(1+z)^2)
运行结果为
f=charfcn[0](n)-(-1)^n+(-1)^n*n
即
][)1(][)1(][)1(1
21k u k k u k z Z k k -+--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-δ 四、实验设备
本实验完全在计算机上进行，实验设备为p4电脑一台（Win2000以上操作系统、MATLAB6.5软件）。
五、实验步骤
1、运行MATLAB 程序；
2、打开MATLAB 编辑器；
3、将“实验原理及内容”中的程序输
入编辑窗口；4、在编辑器窗口中执行“Debug │Save and Run ”命令。
六、实验结果分析：。