第二章 参数估计课后习题参考答案2.1 设总体X 服从二项分布()n X X X p p N B ,,,,11,,21 <<为其子样，求N 及p 的矩法估计。

解：()()()p Np X D Np X E -==1,令()⎪⎩⎪⎨⎧-==p Np S Np X 12解上述关于N 、p 的方程得：2.2 对容量为n 的子样，对密度函数22(),0(;)0,0x x f x x x ααααα⎧-⎪=⎨⎪≤≥⎩其中参数α的矩法估计。

解：122()()a E x xx dx ααα==-⎰22022()x x dx ααα=-⎰2321221333ααααααα=-=-= 所以 133a x α∧== 其中121,21(),,,n n x x x x x x x n=+++为n 个样本的观察值。

2.3 使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果为(单位：mm) 232.50，232.48，232.15，232.52，232.53，232.30 232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30 试用矩法估计测量的真值和方差(设仪器无系统差)。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-==X S p S X X p X N 2221ˆˆˆ解：()()()∑∑====-====ni i ni i S X X n X D X X n X E 12210255.014025.23212.4 设子样1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是来自具有密度函数()10,1,<<=βββx f 的总体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β。

解：()()()()4.22ˆ2,1,407.012.1101221========-===⎰⎰∑∑==X Xdx xdx x xf X E x f XX n S X n X ni i ni i ββββββββ参数：总体方差：总体均值：2.5 设n X X X ,,,21 为()1N ，μ的一个字样，求参数μ的MLE ；又若总体为()21N σ，的MLE 。

解：(1)()()()()()()()()()()X x n x x L x n x L ex L x f ex f ni i n i i i n i i i x nini ix i ni i i =∑=∑=-=∂∂∑---=∑======--=--=∏111222121ˆ0,ln 212ln 2,ln 21,,21,122μμμμμπμπμμπμμμ(2)()()()()()()()()()()()212124222122221221221211ˆ01212,ln 121ln 2ln 2,ln 21,,21,21222∑-=∑=-+-=∂∂∑----=∑======--=--=∏n i i n i i i n i i i x nn ini ix i x n x n x L x n n x L ex L x f e x f ni i i σσσσσσσπσσπσσσπσσσ2.6 设总体X 的密度函数为12(;),,,,n f x X X X θ为其样本，求下列情况下θ∧的MLE 。

（i ） ,0,1,2,(;)!0,x e x f x x θθθ-⎧=⎪=⎨⎪⎩其它0θ≥(ii) 1,01(;)0,x x f x αθθ-⎧=⎨⎩其它θ(iii) 1(),0(;)0,x x e xf x ααθθαθ--⎧⎪=⎨⎪⎩其它α已知（iv ） 1()/(),0(;)0,r x x e r x f x θθθθ--⎧Γ>=⎨⎩其它r 已知（v ） 1,0(;)0,xe xf x θθθ-⎧≥⎪=⎨⎪⎩其它 0θ解：（i ） 112()!!!nii X n n e L x x x θθθ=-∑=121ln ()ln ln(!!!)nin i L Xn x x x θθθ==--∑11ln ()101ni i ni i d L X n d X x n θθθθ===-===∑∑(ii) 1111()nnnii i i L xx θθθθθ--====∏∏1ln ()ln (1)ln nii L n x θθθ==+-∑11111ln ()ln 01(ln )(ln )ni i nn i i i i d L n x d n x x n θθθθ=∧--===+==-=-∑∑∑（iii ） 111()()ni i nx ni i L x eαθαθθα=--=∑=∏11ln ()ln()(1)ln nniii i L n x x αθθααθ===+--∑∑1111ln 01()nn i i i i ni i d L n n x x d x n ααααθθαθθ==∧-==-=-==∑∑∑(iv) 111()()/(())nii n x nr n i i L x er θθθθ=--=∑=Γ∏11ln ()ln (1)ln ()nnnri i i i L r x x n r θθθ===+---Γ∑∑111ln ()01,ni i nin i ii d L nrx d nrr x X n xx θθθθ=∧===-====∑∑∑ (v) 111()nii xnL eθθθ=-∑=11ln ()ln()ni i L n x θθθ==--∑211ln ()11,nii ni i d L n Xd x x X n θθθθθ=∧==-+===∑∑2.7 设总体X 的密度函数为()()10,1<<+=x x x f ββ，n X X X ,,,21 为其子样，求参数β的MLE 及矩法估计。

今得子样观察值为0.3，0.8，0.27，0.35，0.62，0.55，求参数β的估计值。

解：极大似然估计：()()()()()()234.0ln 11ˆ0ln 1,ln ln 1ln ,ln 1,,48.011111111=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑--==∑++=∂∂∑++=+===∑=-======∏∏ni in i i i ni ii ni ini ni i ni i x n x nx L x n x L x x L x f x n X βββββββββββ矩法估计:()()()07.0211ˆ211110-=--==++=+==⎰⎰XX dx x x dx x xf x E βββββ2.8 在处理快艇的6次实验数据中，得到下列的最大速度值(单位：m/s)27 ,38 ,30 ,37 ,35 .31,求最大艇速的数学期望与方差的无偏估计。

解：X 是总体期望()μ=X E 的无偏估计()s m X n X E ni i /3311===∴∑=μ2*S 是总体方差()2σ=X D 的无偏估计()221228/8.1811s m X X n S ni i =--=∑=2.9 设总体()2,~σμN X ，n X XX ,,,21为其子样。

(1)求k ，使()211121ˆ∑-=+-=n i i i X X k σ为2σ的无偏估计； (2)求k ，使∑=-=ni i X X k 11ˆσ为σ的无偏估计。

解：(1) ()()()()221121112111121111σμμk n X X E n k n X X k E n i i n i i n i i i -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑-=-=+-=+ 即k=2(n-1) (2)∑≠--=-ij j i i X n X n n X X 11 ()()01111111=---=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑≠≠μμn n n n EX n EX n n X n E X n n E X X E i j j i i j j i i ()()()()()2222222221111111σσσn n n n n n X D n X D n n X n D X n n D X X D ij ii i j j i i -=-+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑≠≠所以⎪⎭⎫⎝⎛--21,0~σn n N X X i σπnn X X E i 12-=-∴ ()σπσπσ1211211-=-=-=∴∑=n n k n n k n X X E k E n i i()π12-=∴n n k2.10 设总体123(,1),,,XN X X X μ为一样本，试证明下述三个估计变量11232123312313151021153412111362X X X X X X X X X μμμ=++=++=++都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差，问哪一个最小？ 证：1123131()()()()5102E E X E X E X μ=++ 131()5102μμ=++= 同理：2123115()()()()3412E E X E X E X μ=++115()3412μμ=++= 3123111()()()()362E E X E X E X μ=++111()362μμ=++= ∴123,,μμμ是μ的无偏估计量。

由于22212222222313119()()()()51025011525()()()()3412771117()()()()36218D D D μμμ=++==++==++=2()D μ∴最小。

2.11 设θˆ是参数θ的无偏估计，且有()0ˆ>θD ，试证2ˆθ不是2θ的无偏估计。

解：θˆ是参数θ的无偏估计，即()θθ=ˆE又因为()()()[]()0ˆ,ˆˆˆ22>-=θθθθD E E D所以()()()[]()2222ˆˆˆˆθθθθθθ>+=+=D E D E综上所述：2ˆθ不是2θ的无偏估计2.12设总体21(,),,,n XN X X μσμ已知，为一样本，1ni X μ=-为σ的无偏估计，且效率为12π-。

证明：设i i y x μ=- 则2(0,)i y N σ()2()i i i i E y y f y dy +∞=⎰22202i y ii y dy σ-+∞=⎰=1)()n ii E X y μ=-= 22n σσπ== 1ni X μ=-为σ的无偏估计2111)2n niii D X D Xn πμμ==-=-∑{}222122212()222(2)2n i i i ni E X E X n n nπμμπσσππσ===--⎡-⎤⎣⎦⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭-=∑∑由于2(,)XN μσ则，22()222(,,)11()(ln 2ln )ln (,,)222x f x x f x μσμσμπσμσσσσ--=-∂---∂=∂∂231()x μσσ-=-+22224222242ln (,,)13()ln (,,)132()()()f x x f x I E E x μσμσσσμσσμσσσσ∂-=-∂∂=-=-+-=∂ 22111()(2)22()()2n e D nI n n σππσσσσ∧∧===-- 2.13设总体X 服从几何分布： 1()(1),1,2,,01k P x k p p k p -==-=证明样本均值11ni i X X n ==∑是()E X 的相合，无偏和有效估计量。