第12章20世纪数学概观课时：4课时教学目标：理解20世纪纯粹数学（核心数学）、应用数学、数学与计算机等发展的重要特征及其主要成果。

教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结主题：20世纪数学的发展概述：在16世纪之前形成了以代数和几何的初等数学体系，主要对象是现实世界的静态描述，表现为解释性和工具性功能。

17世纪伴随解析几何和微积分的创立和18世纪分析的开拓，数学的发展进入近代数学，其处理对象进入变量，形成了以函数概念为主体的分析领域，数学表现为科学的工具。

19世纪，传统领域的崛起和开拓，极大突破了分析一统天下的局面，形成了现代数学经典三大学科：代数、几何和分析。

这一世纪，人才辈出，经过众多数学家的努力极大拓展了数学的疆域和数学信念，数学本位特征加强。

20世纪，数学急剧膨胀，纯粹数学的扩张、应用数学的发展和计算机的应用为数学点缀了一个绚丽的天空，让人应接不暇。

我们不仅惊异于数学的伟大成就，而且也受益于数学创造带来的力量。

Ⅰ20世纪纯粹数学的发展线索问题：1 20世纪纯粹数学发展的主要特征或趋势是什么？2希尔伯特23个问题的重要意义是什么？3公理化方法和集合论在20世纪数学发展中的意义是什么？4 20世纪有哪些重要的学科的发展及其基本思想是什么？5 20世纪数学统一化的主要数学成果有哪些？6 三大学派的代表人物及其主要思想有哪些？主要内容：19世纪数学的变革与积累使数学建立了分支众多、知识庞大的体系，已经初步体现出了参天大树的雏形，20世纪的数学在此基础上急剧扩展，并广泛应用，为数学的发展展现了广阔的前景和提供了强大的动力。

20世纪的数学发展表现出了如下主要特征和趋势：（1）更高的抽象性；（2）更强的统一性（同时，数学也表现出了更大的分化性，呈现多元化发展）；（3）更深入的基础探讨。

一、新世纪数学序幕1900年8月，在巴黎举行的第二届国际数学家大会（1897年在瑞士举行第一次大会）上，德国数学家希尔伯特在大会上发表了题为《数学问题》的演说，高瞻远瞩地提出了著名的23个问题。

这些问题涉及到现代数学的许多重要领域，这些问题成了新世纪科学前进的杠杠，激发着数学家的激情。

一个世纪以来，伴随希尔伯特问题的解决与研究，大大推动了数理逻辑、几何基础、李群论、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系列学科的发展，有些问题的研究还促进了现代计算理论的成长。

当然，20世纪的数学发展远远超出了希尔伯特问题的范围。

二、更高的抽象1 抽象方法的建立高度抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势与特征之一，这种趋势与特征主要在两大因素的推动下形成的，即集合论的观点和公理化的观点。

集合论由康托尔创立，主要对象是超限数理论。

这一理论发展成了20世纪数学的基础。

集合概念本身被抽象化，建立了公理化集合论。

同时，集合论作为一种普遍的语言深入到数学的每一个角落，初等数学的一些基本概念也集合化了。

公理化方法：现代公理化方法的奠基人是希尔伯特。

他发展了欧氏几何的公理体系，形成了现代公理化方法。

现代公理方法有两个本质的飞跃。

现代公理化方法重在公理结构而不是对象概念。

这样现代公理系统就表现了更大的一般性。

当赋予公理关系中以具体对象时，那么公理系统就形成了各种各种特殊的理论。

希尔伯特建立了现代公理方法的基本逻辑要求，即相容性；独立性和完备性。

这样的体系就为公理系统结构建立严密的逻辑基础。

因此，公理化方法成了现代科学组织理论知识的工具。

集合论和公理化方法在20世纪组建成为数学抽象和科学抽象的范式，它们的相互结合把数学甚至科学引向了高度抽象的道路。

数学高度抽象的发展，形成了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数这四大标志性的学科的形成。

这些学科所创造了抽象语言，结构和方法，又渗透到数论、微分方程论、微分几何、代数几何、复变函数及概率论等经典学科，推动它们在更抽象的基础上革新演化。

2 抽象学科的形成：（1）实变函数论积分学变革是从“病态函数”的积分问题研究开始，创立了勒贝格积分，在此基础上，推广了导数等微积分等基本概念，重建了微积分的基本定理等，逐步形成了实变函数论。

实变函数论是普通微积分的推广，它使微积分使用的范围大大扩展，引起数学分析的深刻变化。

勒贝格积分看成是现代分析的开端，人们把柯西和黎曼积分称作是经典分析，而前者称为现代分析。

（2）泛函分析在变分法求积分问题一解涉及到“泛函”，即关于函数的函数。

泛函的抽象理论在19世纪末20世纪初首先由意大利数学家伏尔泰拉（称“线函数”）和法国数学家阿达马（“泛函”名称即由此得来）在变分法研究中开创。

积分方程也是泛函的一个来源。

19世纪末瑞典数学家弗雷德霍姆将积分方程看成是线性代数方程组的极限情形。

其后，希尔伯特通过严密的极限过程将有限线性代数方程组的结果有效地类比推广到积分方程。

这一过程，他创立了希尔伯特空间，是第一个具体的无穷维空间。

其后，他的学生施密特和冯.诺伊曼等进一步研究无穷数组集合，并经过几何类比，由内积概念建立了高维空间。

后来，匈牙利数学家里斯和德国数学家费舍尔建立了这些空间平方勒贝格可积函数与平方可积数组的等价关系，于是一个平方可积函数就可以看成无穷维空间[L2(a,b)]上的一个点。

简单地说，泛函分析就是这种抽象函数空间上的微积分。

从观念上看，空间和函数两个基本概念有了变革：“空间”被理解为某类元素的集合，这些元素的关系被称作空间结构；“函数”概念则被推广为两个空间之间的元素的映射关系。

其中，将函数映为实数（或复数）的映射称为泛函。

对此明确阐述的是法国数学家弗雷歇，他是抽象泛函分析的奠基人。

抽象空间理论与泛函分析在20世纪上半叶就有了巨大发展。

1922年，波兰数学家巴拿赫提出了更一般的赋范空间概念，极大拓广了泛函分析的疆域。

巴拿赫也是现代泛函分析的奠基人。

广义函数论也是20世纪泛函分析发展中的重大事件。

法国数学家施瓦茨、原苏联数学家索伯列夫和盖尔范德等对此作了贡献。

泛函分析有力推动了其他分析分支的发展，使整个分析领域的面貌发生了巨大变化，其观点和方法还渗透到其他科学与工程技术领域。

（3）抽象代数在20世纪公理化方向向各个领域渗透的过程中，抽象代数的形成与发展占有特殊的地位。

19世纪，关于群的概念的确立，代数学的对象突破了数的范畴，在群的概念对象发展中，人们构造了各种各样的群，发展了与相关的各种代数系统。

后来人们注意到这些代数系统中的具体对象并不重要，重要的是这些元素的运算和所服从的规律。

数学家们开始舍弃对象的具体性质，开始从具体的代数系统向抽象代数系统的过渡。

凯莱首先（1849－1854）引进了（有限）抽象群概念；弗罗贝尼乌斯（1849－1917）发展（1895）了群表示论，韦伯（1842－1913）提出（1893）域的抽象理论。

20世纪初，享廷顿域狄克森给出了抽象群的公理系统（1902，1905）；斯坦尼兹对抽象域的综合研究（1911），韦德波恩发展了线性结合代数（1907）。

20年代后，在希尔伯特直接影响下的诺特（1882－1935）及其学派最终确立了公理化方法在代数领域的统治地位。

1921年诺特发表《环中的理想论》揭开了现代抽象代数的开端。

她用公理化泛函发展了一般理想论，奠定了抽象交换环理论的基础。

其后逐步建立非交换代数及其表示理论，1932年与人合作证明的“代数主定理”称为代数发展史上的重大转折。

由于她的工作，吸引了世界各地的学者，形成了哥廷根抽象代数学派。

因此，哥廷根大学成了20世纪20年代和30年代前期世界抽象代数中心。

抽象代数使代数结构成为代数学研究的中心，代数结构由集合以及集合元素之间的二元运算组成。

代数结构对现代数学的发展产生了深远影响，在此基础上，法国布尔巴基学派提出了一般的数学结构观点，明确了另外两类结构——“拓扑结构”和“序结构”，并将它们结合代数结构称为“母结构”。

结构观点可以说是公理化方法更上一层楼，引起了对数学中更一般的抽象结构的研究。

（4）拓扑学拓扑学是研究几何图形的连续性质，即在连续变形下保持不变的性质。

早期的哥尼斯堡七桥问题、地图四色问题都与拓扑学有关，高斯耶研究过与拓扑学有关的问题。

“拓扑学”名称则是高斯学生尼斯廷首先引用的。

但是，拓扑学本质上是20世纪抽象学科。

庞加莱在1895－1905年间发表了一组论文，开创了现代拓扑学研究，他将几何图形剖分成有限个相互连接的基本片，并用代数组合的方法研究其性质，即形成了组合拓扑学。

1926年，诺特注意到群论在组合拓扑学中的重要意义。

此后，一系列数学家将组合拓扑学发展成代数拓扑学。

从点集概念出发，则建立起的是“点集拓扑学”或“一般拓扑学”。

（5）公理化概率论概率论的公理化，是20世纪数学抽象的又一大成果。

概率论起源于15－16世纪关于赌博问题的讨论。

到19世纪，在一系列数学家的努力下，概率论积累了大量的概念和定理并系统化，开始从组合技巧向分析方法过渡。

19世纪后期，极限理论的发展成了概率论研究的中心课题。

19世纪末，人们开始追求概率论的基础。

20世纪，在人们对概率论公理化的过程中，揭示了概率论的基本概念于测度论及度量函数基本概念之间的深刻相似性，使数学家们看到了一条建立概率论逻辑基础的正确道路。

20年代开始，前苏联数学家科尔莫戈罗夫通过概率论和数学分析之间概念的类比，建立了公理化概率论。

从而赋予了概率论以演绎数学的特征。

在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。

三、数学统一化数学统一化的趋势是20世纪数学的又一大特征。

数学不同领域和分支的方法和思想不断交叉融合，形成了一系列的综合性交叉学科。

1 微分突破和代数拓扑以微分流行为基本对象的拓扑学就是微分拓扑学。

2 整体微分几何整体微分几何以研究微分几何性质于整体性质的联系为目标。

陈省身作了奠基性的贡献。

整体微分几何表现了与现代分析学更深刻的联系。

3 代数几何用抽象的代数方法在抽象域中建立代数几何理论。

4 多复变函数论多复变函数论是单复变函数论的自然推广。

20世纪下半叶，综合运用了拓扑学、微分几何、偏微分方程以及抽象代数领域的概念与方法，多复变函数论取得了长足的进步和突破。

以华罗庚为首的中国数学家在此方向作出了自己的特色。

5 动力系统动力系统的研究由于拓扑方法和分析方法的结合取得了重大进步，借助于计算机又拓展了混沌、分岔、分形理论的研究。

6 偏微分方程与泛函分析偏微分方程以往主要以幂级数为主要工具。

20世纪，借助了泛函分析的观点和方法打开了全新的局面。

现代偏微分方程论与拓扑学、微分几何、多复变函数论都有密切的联系。

7 随机分析概率论与分析、几何等结合。

数学是统一的。

数学理论越向前发展，就越显示出数学结构的一致性。

数学的这种统一性是数学发展的源泉，也是数学与其他学科广泛联系的生命力。