例1.1设 ，求解线性方程组 .
解由于向量组 线性无关，故可做为 的一组基.将 按此组基分别展开为 ，则 等价于
，
或
，
比解.
例1.2设 , .求解非齐次常微分方程组
，（1.4）
其中 .
解类似于上例，将 按基 分别展开为
.
则（1.4）等价于
，
或
，
比较上式两边 的系数可得
当 时，方程通解为
,
求导得
.
由周期边界条件可得
或
（1.14）
由于要求非零解，故 不能同时为零.因此，齐次方程组（1.14）的系数矩阵行列式必为零，即 .解之可得
，
此时对每个正特征值 ，特征函数有二个，既 ， .总结所得结果为如下定理.
定理1.3考虑二阶线性微分算子 带有周期边界条件的特征值问题
则该问题的特征值和特征函数分别为
年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
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第二章分离变量法
分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier方法.分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式.本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论.
设 是相应于 的一个非零解，用 乘（1.7）中的方程，并在 上积分得
，
，
.
由于 ，故有
，
.（1.8）
当 时，方程 的通解为 .利用边界条件 可得 ，即 .因此， 不是特征值.
当 时，方程 的通解为
.（1.9）
利用边界条件 确定常数 如下
, ,
或
.
由于要求（1.7）中齐次微分方程的非零解，故 不能为零.故有
，
其中 系数为
.
为后面需要，下面再求解二阶线性微分算子 带有周期边界条件的特征值问题.在偏微分方程教材中，习惯上用 表示周期函数，即考虑下面
二阶线性微分算子 的周期边值问题
（1.12）
可证（1.12）和以下问题等价
（1.13）
和（1.8）的证明相似易得（1.13）中的特征值 .当 时， ,由周期边界条件可得 .所以 为特征函数.
是区间 上满足一定条件的函数所成无穷维空间的一组基，而且还是该空间上的一组正交基，即有 .特征函数系 的这两个根本性质：正交性和完备性（基），和定理1.1有限维空间 中相应结论很相似，只是现在的特征值和特征函数是无穷个.另外，若改变（1.7）中的边界条件，其相应的特征值和特征函数也会有所变化.如将边界条件变为 ，则特征值和特征函数分别为
§2 1特征值问题
2．1.1矩阵特征值问题
在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题.设 为一 阶实矩阵， 可视为 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem）即是求方程：
，（1.1）
的非零解，其中 为待定常数.如果对某个 ，问题（1.1）有非零解 ，则 就称为矩阵 的特征值(eigenvalue)，相应的 称为矩阵 的特征向量(eigenvector).一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于 个相异的特征值和线性无关的特征向量.但可证明:任一 阶矩阵都有 个线性无关的广义特征向量，以此 个线性无关的广义特征向量作为 的一组新基，矩阵就能够化为 标准型.
.
注意 ，从而有
， ,
， .
将 代入到（1.8）中，并略去任意非零常数 得
， .
故特征值问题（1.7）的解为
， ， （1.10）
注1特征值问题是分离变量法的理论基础.上面已求出特征值问题（1.7）的解为 .在高等数学中知道，在一定条件下区间 的任一函数可按特征函数系 展开为Fourier级数.换言之，特征函数系
， .
§2 2分离变量法
本节结合具体定解问题的求解来介绍分离变量法（method of separation of variables）.所举例子仅限于一维弦振动方程，一维热传导方程混合问题以及平面上一些特殊区域上的位势方程边值问题.对高维问题的处理放在其它章节中介绍.
.（1.5）
（1.5）是 个一阶线性方程的初始值问题，很容易求出其解.请同学们给出解 的具体表达式.
2.1.2一个二阶线性微分算子的特征值问题
在这一小节，我们讨论在本章常用的一些特征值问题.代替上节的有限维线性空间 和 阶实对称矩阵 ，在这儿要用到线性空间 的某个子空间 和该子空间上的二阶线性微分算子 .一般地取
.
该特征函数系 也具有和特征函数系 类似的性质，既正交性和完备性.此类问题的一般结果便是著名的Sturm—Liouville定理，有兴趣的同学可参阅参考文献 .
将以上的结果以定理的形式给出.
定理1.2 考虑二阶线性微分算子 的特征值问题
（1.11）
其中 .则该问题的特征值非负，且满足
.
相应的特征函数系 在 上是相互正交的.且对于任一在区间 上分段光滑的函数 ，可按特征函数系 展开为如下的 级数
在 满足齐次边界条件 .（1.6）
下面我们讨论二阶线性微分算子 的特征值问题.先取边界条件为 ，设 是 的特征函数，即 且满足
.
此问题等价于 是下面问题的非零解
（1.7）
（1.7）便是二阶线性微分算子 的特征值问题，即要找出所有使得该问题有非零解的 .下面求解特征值问题（1.7）.
首先证明要使（1.7）具有非零解， 必须非负.
若 为一 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵 使得
，（1.2）
其中 diag 为实对角阵.设 ， 为矩阵 的第 列向量 ，则式（1.2）可写为如下形式
，
或
（1.3）
上式说明，正交矩阵 的每一列都是实对称矩阵 的特征向量，并且这 个特征向量是相互正交的.由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出.
定理1.1设 为一 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题
，
则 的所有特征值为实数，且存在 个特征向量 ，它们是相互正交的（正交性orthogonality），可做为 的一组基（完备性completeness）.
特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之.
为简单起见，在下面两个例子中取 为 阶非奇异实矩阵，故 的所有特征值非零，并且假设 有 个线性无关的特征向量 相应的特征值为 .