2006级硕士研究生学位课程《弹塑性力学》期末考试
标 准 答 案
一、简答题（每题15分，共30分）
1、弹塑性力学问题有哪几种提法和解法？简要说明各种不同提法的概念，列出各种提法相应的基本方程及其基本解法，并加以比较评述。
（15%）
答：弹塑性力学问题有两类不同的提法和解法：（1）微分提法及其解法；（2）变分提法及其解法。
微分提法是从研究固体内的任意一个微元体出发，考虑微元体的平衡关系、几何关系和物理（本构）关系，由此建立起问题所需满足的基本方程（包括平衡方程、几何方程和本构方程），从而把问题归结为在给定的边界条件下求偏微分方程的边值问题。
变分提法则直接处理整个固体系统，通过考虑系统的能量关系，由此建立起一些泛函变分方程，从而把问题归结为在给定的约束条件下求泛函极值的变分问题。
一、微分提法的基本方程为：
1）平衡微分方程：2
,2
0()i ij j i u X t
σρ∂+=∂
2）几何方程：,,1()2
ij i j j i u u ε=+及,,,,ij kl kl ij ik jl jl ik
εεεε
+=+
3）本构方程：
111223ij ij kk ij ij ij ij kk ij E E
d dS d S d G E ν
ν
εσσδν
ελσδ+⎫=
-
⎪⎪⎬-⎪
=++⎪⎭
，弹性状态
，塑性状态
微分提法的基本解法：一种是以位移作为基本未知函数求解，在求出位移后，再求得其它的未知函数，
这种解法称为位移法；另一种是以应力作为基本未知函数求解，在求出应力后，再求得其它的未知函数，这种解法称为应力法。
二、变分提法的基本方程为：
1）位移变分方程：ij
ij V
W dV U δσ
δεδ=
=⎰⎰⎰或()0P i u δ∏=
2）应力变分方程：'
'
W U δδ=或0c δ∏=
变分提法的基本解法：Ritz 法和迦辽金法。
微分提法对应的数学问题是偏微分方程的边值问题，因此，不管是采用位移法或是应力法求解，一般情况下，除了一些简单问题外，绝大多数问题的求解是相当困难的，在边界条件比较复杂时，甚至不可能求得解。
这就使得近似解法具有极为重要的意义。
变分提法对应的数学问题是在给定的约束条件下求泛函极值的变分问题，可以通过Ritz 法或迦辽金法等直接求解问题的近似解答，实际上是弹塑性力学问题近似解法中最有效的方法之一，而且，它还构成了当前工程上普遍应用的有限元法的理论基础
2、试举例说明圣维南原理在求解实际力学问题中的具体应用。
答：1）我们知道，弹性力学问题在数学上被称为边值问题，其待求的未知量(应力、位移、应变)完全满足基本方程并不困难，但是，要求在全部边界上都逐点地满足边界条件，往往会发生很大困难。
为了使问题得到简化或有解，在符合圣维市原理的那部分边界上，可以放弃严格的逐点边界条件，而改为满足另一组静力等效的以合力形式表示的整体边界条件。
这对于离边界较远处的应力状态，并无显著的误差。
这已经为理论分析和实验所证实。
2）当物体的一小部分边界，仅仅知道物体所受外力的合力，而不能确知其分布方式时，就不能逐点地写出面力的边界条件，因而难以求解或无法求解。
根据圣维南原理，可以在这一小部分边界，直接写合力条件进行求解。
3）当物体一小部分边界上的位移边界条件不能精确满足时，有时也可以应用圣维南原理得到有用的解答。
4）在工程结构的受力分析中，根据圣维南原理，有时可近似地判断应力分布和应力集中的情况。
二、计算分析题（共70分）
1、解答： 开裂时，σ 5、解答： 由椭圆的周界方程
222
2
10x y a
b
+
-=
试取挠度的表达式为
222
2
2
(1)x y w A a
b
=+
- （a ）
这里，A 为任意常数。
显然，由式（a ）所示的挠度满足在板的边界处为零的条件。
下面要证明，它还能满足在板边上转角为零的条件
事实上，因为在板边上有
22
2222
2
222
4(1)04(1)0w
Ax x y x a a b
w Ay x y
y
b a b
∂=+-=∂∂=
+-=∂
所以，w 对椭圆板边界法线方向的倒数在板边上的值为
0w w x w y v
x
v
y
v
∂∂∂∂∂=
⋅
+
⋅
=∂∂∂∂∂
总之，以式（a ）表示的挠度能满足问题的全部边界条件。
现将式（a ）代入方程（12-14），有 04
2
2
4241624
(
)A A A D q a
a b
b
+
+= 这是式（a ）满足式（12-14）的条件。
由此得 0
4224
3
2
38()
q A D a a b
b
=
++
（b ）
代入式（a ），于是有
222
02
2
4
2
2
4
(
1)3
2
38(
)
x
y
q a b w D a
a b
b
+
-=
+
+
（12-25）
最大挠度发生在椭圆的中心，其值为 0
m
a x
04
2
2
4
()3238(
)x y q w w D a
a b
b
====+
+
（c ）
如果a=b ，则为圆板，其最大挠度为
4
0m
a x
64q a
w D
=
（d ）
如将式（12-25）代入式（12-6）和（12-8），可求得内力。
现只求出其弯矩如下：
2
22
2
42
2
24
222
42242
2
2
2
42224222422431
31[()()]3
232()3131[()()]32
32()x
y
q x
y
y
x
M
a a b
a b
a b b
a a
b b
q y x x
y M
b a b b a a b a
a a
b b
νν⎫=-
+
-++
-⎪⎪++
⎪
⎬⎪=-
+-++-⎪++⎪⎭ （12-26） 在板中心，它们的值分别为
22
02
0242
4
(1)
()2(32
3)
x x y a q a b
M a a b
b
ν
==+=
++ （e ）
22
02
0242
4
(1)
()2(32
3
)
y x y b q b a
M b b a
a
ν
==+=
++ （f ）
在椭圆长轴的端点
2
0240
2
4
()(32
3
)
x x a y q a M a a b
b
=±==-
++ （g ）
在椭圆短轴的端点
2
00
242
4
()(32
3
)
y x y b
q b M b b a
a
==±=-
++ （h ）
若a b >，则式（f ）和式（h ）表示板中最大弯矩和最小弯矩。
当a 趋向无穷时，则椭圆板变成跨度为2b 的平面应变情况下的两端固定的梁。
此时，式（12-26）的第二式简化为
2
2
02
3(
1)6
y
q b y M
b
=-
-
在梁的跨中和两端，弯矩值分别为
2
2
0002
2
00(2)()6
24(2)()3
12
y y y y b q b q b M q b q b M ==±=
=
=-
=-
这一结果与材料力学的结果相同。