第3章几类重要的拓扑性质3.1 可度量性3.2 连通性3.3 道路连通性3.4 分离性定义3.4.1 设X是拓扑空间. 如果X中任意两个不同点的每一点都有一个邻域不包含另外一点, 则称X满足T1分离公理或X是T1空间.并非任一空间都是T1空间. X={a, b}, T={, {a}, X}定理3.4.1 对拓扑空间X, 下列条件等价:(1) X是T1空间;(2) X中的单点集是闭集;(3) X中的有限子集是闭集.定理3.4.2 设X是T1空间. 若AX且xX, 则x是A的聚点当且仅当x的每个邻域都包含A的无限个点.定义3.4.2设X是拓扑空间. 如果X中任意两个不同点有不相交的邻域, 则称X满足T2分离公理或X是T2空间.T2空间也常称为Hausdorff空间.例3.4.1 设X是包含无限个元素的有限补空间. 由于X的有限集都是闭集, 所以X是T1空间. 而X中任意两个非空开集都相交. 事实上, 假设A, B是X的两个非空开集, 则X-A, X-B都是有限集, 所以X-(A∩B)=(X-A) ∪(X-B)是有限集, 从而A与B相交. 因此X不是Hausdorff空间.定理3.4.3 如果X是Hausdorff空间, 则X中的每个序列至多收敛于一点.定义3.4.3 设X是T1空间.(1) 如果对任意的xX及X中不包含x的闭集F, 存在X的不相交的开集U, V分别含有x与F, 则称X满足正则分离公理或X是正则空间.(2) 如果对X中的任意不相交的闭集A, B, 存在X的不相交的开集U, V分别含有A, B则称X满足正规分离公理或X是正规空间.例3.4.2 Smirnov删除序列空间R K是Hausdorff空间, 但不是正则空间.定理3.4.4若X是T1空间. 则X是正则的当且仅当对任意xX及x的任意邻域U, 存在x的开邻域V使得cl(V)U.定理3.4.5 若X是T1空间. 则X是正规的当且仅当对X中的每个闭集F 及包含F的任意一个开集U, 存在包含F的开集V使得cl(V)U.定理3.4.6 度量空间是正规的.可度量性是遗传性, 连通性是有限可积性.定理3.4.7 良序空间是正规的.定理3.4.8 T1、T2和正则分离公理都具有遗传性.定理3.4.9 T1、T2和正则分离公理都是有限可积性.例3.4.3下限拓扑空间R l是正规的, 但它的积空间R l2不是正规的.补充: 定理3.4.10 T1、T2、正则性、正规性都是拓扑性质.3.5 Urysohn引理与Tietze扩张定理定理3.5.1 (Urysohn引理, 1925) 设X是正规空间. 若A, B是X中不相交的闭集, 则存在连续函数f: X[0, 1], 使得当xA时, f(x)=0; 当xB时, f(x)=1.定义3.5.1 设X是拓扑空间, A, BX. 如果存在连续函数f: X[0, 1], 使得当xA时, f(x)=0; 当xB时, f(x)=1, 则称A与B能用连续函数分离.定义3.5.2 设X是T1空间. 如果对任意xX及X中任意不包含x的闭集A, {x}与A能用连续函数分离, 则称X满足完全正则分离公理, 也称X是完全正则空间或Tychonoff空间.定理3.5.2 完全正则性是遗传性和有限可积性.例3.5.1 下限拓扑空间R l的积空间R l2是非正规的完全正则空间.定理3.5.3 (Tietze扩张定理, 1925) 设X是正规空间. 若A 是X的闭子集, 则任何连续函数f: A[a, b]都存在连续扩张g: X[a, b].推论3.5.1 设X是正规空间. 若A 是X的闭子集, 则任何连续函数f: A R 都存在连续扩张g: X R.3.6 紧性定义3.6.1 设X是拓扑空间, A是X的子集族. 如果∪A A=X, 则称A覆盖X, 或称A是X的覆盖. 如果A的每个元素是X的开子集, 则称A是X的开覆盖.定义3.6.2 设X是拓扑空间. 如果X的每个开覆有有限子覆盖, 则称X 是紧空间.例3.6.1 (1) 平庸空间是紧空间.(2) 有限的空间是紧的.(3) 离散空间是紧空间当且仅当它是有限的空间.(4) 实空间R不是紧空间.(5) [a, b]是紧子集.(6) X={0}∪{1/n: nZ+}作为R的子空间是紧的.定理3.6.1若(X, <)是具有上确界性质的全序集, 则序拓扑空间X的每个闭区间是紧的.引理3.6.1 如果Y是拓扑空间X的子空间, 则Y是紧的当且仅当由X中开集组成的Y的每个覆盖有有限子覆盖.定理3.6.2 紧空间的每个闭子集是紧的.引理3.6.2 如果A, B是Hausdorff空间X中不相交的紧子集, 则存在X的开集U, V使得AU, BV且U∩V=.定理3.6.3 Hausdorff空间的每个紧子集是闭的.定理3.6.4 紧的Hausdorff空间是正规的.定理3.6.5紧空间的连续像是紧的, 即连续映射保持紧性.紧性是拓扑性质.定理3.6.6 (最值定理)设f: XY函数连续, Y是序拓扑空间. 如果X是紧空间, 则X中存在点x0和x1, 使得对任意xX, 有f(x0)≤f(x)≤f(x1).定理3.6.7 紧空间到Hausdorff空间的连续映射是闭映射.推论3.6.1 紧空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚.引理3.6.3 (管形引理)设X是拓扑空间, Y是紧空间, x0X, 如果积空间XY中的开集U{x0}Y, 则存在X中包含x0的开集W, 使得WYU.定理3.6.8 紧空间性质是有限可积性.环面、Möbius带、Klein瓶都是紧空间.例3.6.2 正规空间[0, 1]2的非正规子空间[0, 1) [ 0, 1].定义3.6.3 设(X, d)是度量空间, AX, 如果存在实数M>0, 使得任意x, yA有d(x, y)≤M, 则称A是X的有界集, M是A的界, 如果A不是有界集, 则称A是无界集.定理3.6.9 如果A是n维欧氏空间R n的子空间, 则A是紧的当且仅当A 是闭的且关于R n上的欧氏度量d或平方度量ρ是有界的.3.7 可数性定义3.7.1 设X是拓扑空间. 如果xX且x在X中具有可数的邻域基, 则称X在点x是第一可数的. 如果X中的每一点是第一可数的, 则称X满足第一可数公理或X是第一可数空间.定理3.7.1 第一可数性是遗传性.定义3.7.2 如果拓扑空间X有一个基由可数个元素组成, 简称X具有可数基, 则称X满足第二可数公理或X是第二可数空间.定理3.7.2 第二可数性是遗传性.定义3.7.3(A. Tychonoff, 1930) 设{Xα}α∈J是拓扑空间的族. 记X=∏α∈J Xα, 以集族={α-1(Uα): Uα是Xα中的开集, αJ}为子基生成的拓扑称为X上的积拓扑或Tychonoff拓扑, 其中每个α: XXα都是投射. X具有这个拓扑称为空间族{Xα}αJ的积空间或Tychonoff积空间.引理3.7.1 设{Xα}αJ是拓扑空间的族. 如果对每个αJ, Bα是Xα的基, 则集族B’={∏α∈J Bα: 除有限个αJ有BαBα外, 其余的Bα=Xα}是X=∏α∈J Xα上积拓扑的基.定理3.7.3 第一可数性、第二可数性都是有限可积性.例3.7.1 不可数个实空间R的积空间不是第一可数的.定义3.7.4 设X是拓扑空间, AX. 如果cl(A)=X, 则称A是X的稠密子集.如果X有可数的稠密子集, 则称X是可分空间.定理3.7.4 第二可数空间是可分空间.定义3.7.5 设X是拓扑空间. 如果X的每个开覆都有可数的子覆盖, 则称X是Lindelöf空间.定理3.7.5 第二可数空间是Lindelöf空间.定理3.7.6 正则的Lindelöf空间是正规的.推论3.7.1 第二可数的正则空间是正规的.例3.7.2 下限拓扑空间R l是第一可数的、可分的、Lindelöf空间, 但不是第二可数空间.Sorgenfrey平面R l2不是Lindelöf空间.例3.7.3 良序空间[0, 1)是第一可数空间, 但不是可分空间、Lindelöf 空间.3.8 Urysohn度量化定理定理3.8.1 设(X, d)是度量空间. 定义为则是X上的度量, 且和d诱导出X上相同的拓扑.度量称为相应于d的标准有界度量.定义3.8.1设{(Xα, dα)}α∈J是度量空间的族. 记X=∏α∈J Xα, 对任意的x=(xα) α∈J, y=(yα) α∈J X, 令其中是相应于dα的标准有界度量, 定义函数.是X上的度量, 它称为X 上的一致度量, 由所诱导的度量拓扑称为X上的一致拓扑.例3.8.1 R在一致拓扑下不是第二可数空间.定义3.8.2设{(Xα, τα)}α∈J是拓扑空间的族. 记X=∏α∈J Xα. 令B= {∏α∈J Uα: 对每个αJ, Uατα}. 以B作为基生成X上的拓扑称为箱拓扑.例3.8.2 R在箱拓扑下不是第一可数空间.例3.8.3设J是任意的指标集. 在R J上,(1) 一致拓扑细于积拓扑;(2) 箱拓扑细于一致拓扑.定理3.8.2 可度量性是可数可积性.定理3.8.3 设(X, d)是度量空间. 下列条件等价:(1) X是第二可数空间;(2) X是Lindelöf空间;(3) X是可分空间.推论3.8.1 可分或Lindelöf的度量空间的每个子空间都具有可数基,从而是可分且Lindelöf的.定义3.8.3 设X, Y都是拓扑空间, 函数f: XY. 定义f’: Xf(X)为f’(x)=f(x), 对任意xX. 如果f’是同胚, 则称f: XY是拓扑嵌入或嵌入, 或称X 可同胚嵌入于Y中.引理3.8.1 (嵌入引理)设X是T1空间. 如果X上的实值连续函数族{fα}分离X中的点与闭集, 则由F(x)= (fα(x))α∈J, xX所定义的函数F: X R J是α∈JX到积空间R J的拓扑嵌入.定理3.8.4 X是完全正则空间当且仅当对某个指标集J, X可拓扑嵌入积空间[0, 1]J.定理3.8.5 (Urysohn度量化定理, 1925)具有可数基的正则空间是可度量化的.推论3.8.2 设X是拓扑空间. 下列条件等价:(1) X是可分的可度量化空间;(2) X是具有可数基的正则空间;(3) X同胚于积空间[0, 1]的一个子集.。