函数对称性与周期性研究学习报告新高2011级35班数学一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、 对称性定义（略），请用图形来理解。

3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

得证。

若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(c b a + 对称 （3）函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。

但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y xc 它会关于y=0对称。

4、 周期性：（1）函数)(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为A 、)()(x f T x f -=+B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） D 、其他情形（2）函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+，则可推出)](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以得到)(x f y =的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称轴为kT T x 22+=)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为)0(kT ，)(z k ∈（以上0≠T ） 如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为)0,22(kT T +)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T ） （4）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。

如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。

定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.定理4：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. 定理5：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.二、 两个函数的图象对称性1、 )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。

2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。

3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。

4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。

5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。

6、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2b a x +=对称。

7、 函数的轴对称：定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2b a x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.8、 函数的点对称：定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称. 推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.函数对称性与周期性几个重要结论赏析对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。

一、几个重要的结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数满足 （T 为常数）的充要条件是 的图象关于直线 对称。

2、函数满足 （T 为常数）的充要条件是 的图象关于直线 对称。

3、函数 满足 的充要条件是 图象关于直线对称。

4、如果函数满足 且 ，（ 和 是不相等的常数），则是以为 为周期的周期函数。

5、如果奇函数满足 （ ），则函数 是以4T 为周期的周期性函数。

6、如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线与关于X轴对称。

2、曲线与关于Y轴对称。

3、曲线与关于直线对称。

4、曲线关于直线对称曲线为。

5、曲线关于直线对称曲线为。

6、曲线关于直线对称曲线为。

7、曲线关于点对称曲线为。

二、试试看，练练笔1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,,则________。

2、已知函数满足，则图象关于__________对称。

3、函数与函数的图象关于关于__________对称。

4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。

5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。

图象关于__________对称。

6、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于__________对称，关于__________对称。

7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（）A、5B、10C、15D、188、设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则图象关于y轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若，则函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。

9、函数定义域为R，且恒满足和，当时，，求解析式。

10、已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根．附参考答案：：：：：y轴即：①y轴②：①②：C ：②④：：方程的根为共9个根。