2013届成都二诊断模拟试题二数学（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），试题分值：150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 满分50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1. 已知复数112Z i =-，则复数1-1112Z Z Z +=的虚部是（） A. i B. i - C. 1 D. -12.设集合{}U =1,2,3,4，{}25M =x U x x +p =0∈-，若{}2,3U CM =，则实数p 的值为 ( )A ．4-B ． 4C ．6-D ．63. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+，那么表中t 的值为（ ）A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.54.函数2()2x f x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ． (0,2)5．设0sin a xd x π=⎰，则二项式61()a x x- 展开式的常数项是（ ）A.160B.20C.-20D.-1606、对于数列}{n a ，41=a ，)(1n n a f a =+ 2,1=n ，则2012a 等于（ ）x1 2 3 4 5)(x f 5 4 3 1 2A ．2B ．3C ．4D ．57．如图所示，点P 是函数)sin(2ϕω+=x y )0,(>∈ωR x 的图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，若0=⋅PN PM ，则ω的值为A.8π B. 4πC. 4D. 8 8. 已知正方形ABCD 的边长为22，将ABC ∆沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B ACD -．若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点（不包括端点），且BN CM =.设BN x =，则三棱锥N AMC -的体积()y f x =的函数图象大致是（ ）D.A.9.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为)0,(c F ，方程02=-+c bx ax 的两实根分别为21,x x ，则),(21x x P （ ）A ．必在圆222=+y x 内B ．必在圆222=+y x 外C ．必在圆222=+y x 上D ．以上三种情况都有可能10.设()f x 是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有(1)(1)0f x f x -++=恒成立. 如果实数m n 、满足不等式组22(623)(8)03f m m f n n m ⎧-++-<⎨>⎩，那么22m n +的取值范围是( )A.(3, 7)B.(9, 25)C.(13, 49)D. (9, 49)第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在答题卡的相应横线上。
11.在直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 与直线的方程分别为：022s i n ,2x x t y t ρθ⎧=+⎪=⎨=⎪⎩（t 为参数）。
若圆C 被直线平分，则0x 的值为 。
12. 一个空间几何体的三视图如图（1）所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的表面积为13、已知实数]10,0[∈x ，执行如右图所示的程序框图，则输出 的x 不小于47的概率为 .14. 身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有 种（用数字作答）15. 函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[,]a b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()f x 在B.[,]a b 内是单调函数；②()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ，则称区间[,]a b 为()y f x =的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 (填上所有正确的序号)①)0()(2≥=x x x f ；②()()x f x e x =∈R ；③)0(14)(2≥+=x x xx f ；④)1,0)(81(log )(≠>-=a a a x f x a三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. （本题满分12分） 已知函数2231()sin 2(cos sin )122f x x x x =---，R x ∈，将函数()f x 的图像向左平移6π个单位后得函数()g x 的图像，设ABC ∆三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . （Ⅰ）若7c =，()0f C =，sin 3sin B A =，求a 、b 的值；（Ⅱ）若0)(=B g 且(cos ,cos )m A B = ，(1,sin cos tan )n A A B =-，求m n ⋅ 的取值范围.17．(本小题满分12分)为了解学生喜欢数学是否与性别有关，对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜欢数学 不喜欢数学 合计男生5 女生10 合计50 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢数学的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）是否有99.5％的把握认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为X ，求X 的分布列与期望.下面的临界值表供参考：2()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：22()()()()()n a d b c K a bc d a cb d -=++++，其中na b cd =+++)18、（本题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P A B C D -中90A D B C A B C ∠=，∥°，P D ⊥平面A B C D ，A D =1，3AB =，4BC =． ⑴求证：BD ⊥PC ；⑵求直线AB 与平面PDC 所成的角；⑶设点E 在棱PC 上，P E P Cλ=，若DE ∥平面PAB ，求λ的值.19（本小题满分12分）APECDB设同时满足条件：①122++≥+n n n b b b ；②n b M ≤(N n *∈，M 是与无关的常数)的无穷数列{}n b 叫“嘉文”数列.已知数列{}n a 的前项和n S 满足：(1)1n naS a a =--（a 为常数，且0a ≠，1a ≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21nn n S b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值，并证明此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“嘉文”数列.20．（本小题满分13分）设椭圆222:1(0)x C y a a+=>的两个焦点是12(,0)(,0)(0)F c F c c ->和，且椭圆C 上的点到焦点F 2的最短距离为3 2.-（1）求椭圆的方程； （2）过点)2,0(且斜率k 为的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,P Q ，是否存在k ，使得向量OP OQ + 与AB共线？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）定义在(0,)+∞上的函数1()(,1)pf x px x p Q p =-∈>且。
（1）求函数()f x 的最大值；（2）对于任意正实数a ，b ，设111p q+=，证明：.p q a b ab p q ≤+2013届成都高考第次二诊断模拟试题2013.03.1917．(本小题满分12分). 解：(1) 列联表补充如下： -----------------3分喜爱数学 不喜数学 合计男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 2050（2）∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99.5％的把握认为喜爱数学与性别有关 -----------6分（3）喜爱数学的女生人数ξ的可能取值为0,1,2. 其概率分别为021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152253(2)20C C P C ξ===-------10分故ξ的分布列为:ξ0 1 2P720 12 320------------11分ξ的期望值为:7134012202205E ξ=⨯+⨯+⨯= -------12分 19解：（Ⅰ）因为11(1)1aS a a =--,所以1a a = 当2n ≥时，1111n n n n n a aa S S a a a a --=-=--- 1n n a a a -=， 即以a 为首项，a 为公比的等比数列． ∴1n nn a aa a -=⋅=； ……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)(31)211(1)n n nn na a a a a ab a a a ⨯----=+=-， 则有2213b b b =⋅，故22232322()3a a a a a +++=⋅，解得13a = 再将13a =代入得3nn b =成等比数列， 所以13a =成立 …………………8分由于①2221111111121133332223n n n n n n n n b b b ++++++⋅+=>==…………………10分 （或做差：因为0323135121121212>=-=-++++++n n n n n n b b b ，所以211112n n n b b b +++≥也成立) ②11133n n b =≤，故存在13M ≥；故1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“嘉文”数列………12分。