高等数学第二章复习题及答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高等数学习题集及解答第二章一、 填空题1、设()f x 在x a =可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--=。

2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3)lim 2h f h f h →--=。

3、设1()xf x e -=，则0_____________(2)(2)limh f h f h→--=。

4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2x f x f x x x π'==<<-，则0_______________________()f x =。

5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dydx =。

6、()x f x xe =，则_______________(ln 2)f '''=。

7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________a =。

8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________()f x '-=。

9、()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则_________________(0)f '=。

10、ln(13)x y -=+，则____________________y '=。

11、设0()1f x '=-，则0___________00lim(2)()x xf x x f x x →=---。

12、设tan x y y +=，则_________________________dy =。

13、设lny =_______________(0)y '''=。

14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是______________________。

15、1cos0()00x x f x xx λ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其导数在0x =处连续，则λ的取值范围是_______________________。

16、知曲线323y x a x b =-+与x 轴相切 ，则2b 可以通过a 表示为____________。

二、 选择题。

17、设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（ ）。

A 充分了必要条件，B 充分但非必要条件，C 必要条件但非充分条件，D 既非充分条件又非必要条件。

18、函数3221()31xx f x xx ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩在1x =处 （ ）A 左右导数均存在，B 左导数存在，右导数不存在，C 左导数不存在，右导数存在，D 左右导数均不存在。

19、设周期函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，周期为4，又0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点(5,(5))f 处的切线斜率为 （ ）A12， B 0 ， C –10， D –2 。

20、设函数11cos (1)1()0ax x f x ⎧⎪--=⎨⎪⎩11x x ≠= 则实常数a 当()f x 在1x =处可导时必满足（ ） A 1a <-； B 10x -≤<； C 01x ≤<； D 1a ≥21、已知212()2x x x ax b x ϕ⎧->=⎨+≤⎩ ，且(2)ϕ'存在，则常数,a b 的值为 （ ）A 2,1;a b ==B 1,5;a b =-=C 4,5;a b ==-D 3, 3.a b ==- 22、函数()f x 在(,)-∞+∞上处处可导，且有(0)1f '=，此外，对任何的实数,x y 恒有()()()2f x y f x f y xy +=++，那么()f x '=（ ）A ;x eB ;xC 21x +；D 1x +。

23、已知函数()f x 具有任何阶导数，且2()[()]f x f x '=，则当n 为大于2的正整数时，()f x 的n 阶导数()()n f x 是 （ ）A 1![()]n n f x +；B 1[()]n n f x +；C 2[()]n f x ；D 2![()].n n f x 24、若函数()y f x =有01()2f x '=，则当0x ∆→时，该函数在0x x =处的微分dy 是x ∆的（ ）A 等价无穷小；B 同阶但不等价的无穷小；C 低阶无穷小；D 高阶无穷小。

25、设曲线1y x=和2y x =在它们交点处两切线的夹角为ϕ，则tan ϕ= （ ） A 1-； B 1; C 2； D 3 。

26、设由方程组2110y x t te y =-⎧⎨++=⎩ 确定了y 是x 的函数，则202t d ydx ==（ ）A 21e ；B 212e ；C 1e -；D 12e- 。

一、 填空题的答案 1、2)(a f ' 2、-1 ； 3、2141-e ； 4、3 5、-16、6+2ln27、28、19、n! 10、-xx --+313ln 3 11、1 12、dx y dy 1sec 12-=13、23-14、0=-y x 15、2>λ 16、 624a b =二、选择题答案：17、A 18、B 19、D 20、A 21、C 22、C 23、A 24、B 25、D 26、B 三、综合题：27、求曲线cux y =上与直线1=+y x 垂直的切线方程。

剖析：求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求切线斜线。

解：设切点为)(00y x 则点).(00y x 处的切线斜度为01|x x x y k =='=依题意知所求切线（）坐y x +1=垂直，从而11=x 10=x 利切点为)01(、；切线（）为.1=k故所求切线方程为10-=-x y 即：1-=x y 设xex f 1)(-= 则21041)2()2(lim-→-=--e tc f tc f t 9、如果)(x f 为偶函数，且)0(-f 存在 证明0)0(=-f 证明：因为)(x f 为偶函数，所以)()(x f x f =-从而)0(0)0()()(lim 0)0()(lim)0(00f x f x f x f x f x f f x x '-=---=-=--=→-→ ∴:0)0(2='f 故0)0(='f28、讨函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin 2x x xx y 在0=x 处方程连续性与可得解：)0(1sin lim lim 200y xx y x x ==→→，所以函数y 在0=x 处连续 又01sin lim 1sinlim)0(lim 0200===--→→→xx x x x x y y x x x 故函数y 在0=x 处可导、值0|='=x y x29、已知⎩⎨⎧<-≥=0)(2x x x x x f 求)0().0(-+''f f 及是否存在)0(2f '解:0lim 0)0()(lim )0(200==--='++→→+x x x f x f f x x 1lim 0)0()(lim)0(00-=-=--='--→→-xxx f x f f x x 故不存在)0(f ' 30、已知)(00sin )(,x f x xx x x f '⎩⎨⎧≥<=求解： x x f x cos )(.0='<时当1)(.0='>x f x 时当11lim )(lim )0(0=='='++→→+x x x f f所以：1)0(1=f 从而⎩⎨⎧≥<='010cos )(x x x x f 31、证明：双曲线22a xy =上往一点处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a 。

证明：设),(00y x 为双曲线2a xy =上的一点，则该点处切线的斜率为,202x a k -=从而切线方程为)(00202x x x a y y --=-令0=x 得y 轴上的截距为020202x a x a y y =+=令0=y 得x 轴上的截距为02x x =从而 20202|2.2|21|||21a x a x y x s ===32、设xe y x1sin1tan=求y '解：)1(sin 1sin )(1tan 1tan'+'='xe x ey x x)1(1cos 1sin )1)(1(sec 21tan 221tanx x e x xx ex x-+-=33、设)2323(+-=x x f y 在2arcsin )(x x f =' 求0=x dxdy解：设2323),(+-==x x u u f y则：2)23()23(3)23(3)()2323)((+--+'='+-'=x x x u f x x u f dx dy 22)23(12)(arcsin +=x u 222312)2323arcsin(+⋅+-=x x x从而π231arcsin 3|0===x dx dy34、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(22x x xx x f ，讨论0)(='x x f 在点处连续性剖析：本题需先求)(x f '的表达式，再讨论)(x f '在点0=x 处的连续性解：当2232)1(121arctan )(0xx xxx f x +-+='≠时422121arctan x x x +-=21arctanlim 0)0()(lim200π==--='→→x x x x f x f f x x 从而：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-='020121arctan )(422x x x x x x f π由于)0(2121arctan lim )(lim 42200f x x x x f x x '==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-='→→π处连续在点0)(='∴x x f 35、:,)(dx dy y x f 的导数求下列函数可导设（1）)(2x f y = （2）)(cos )(sin 22x f x f y += 解：（1）)(22)(22x f x x x f y '=⋅'='（2）))(cos (cos ))(sin (sin 2222''+''='x x f x x f y=x x x f x x x f sin cos 2)(cos cos sin 2)(sin 22'-' =[])(cos )(sin 2sin 2121x f x f x -37、设)(,)11(lim )(2t f xt x f tx x '+=∞→求 提示：tte t f 2)(=。