⎡1 1 0⎤2
= [0 0 1] ⎢⎢0 2 0⎥⎥
= [0 5 9] ⎢⎣0 1 3⎥⎦
35
N
=
⎡ c1A ⎤ ⎢⎣c2 A2 ⎥⎦
=
⎡1 ⎢⎣0
1 5
0⎤ 9⎥⎦
36
计算状态反馈矩阵
⎡1
F
=
−E −1N
=
−
⎢ ⎢
2
−2
−
9 2
⎤ ⎥ ⎥
⎢1 ⎢⎣ 2
3
9⎥ 2 ⎥⎦
计算输入变换矩阵
⎡1
H
=
Gp11 ( s )
r1
- ε1 Gc11(s)
u1
1
y1
2s +1
+
+
补偿原理
Gc21 (s) Gc12 (s)
1 Gp21 (s)
0 Gp12 (s)
+
1+
r2
- ε 2 Gc22 (s)
u2 s +1
y2
Gp22 (s)
gc22 (s)gp12 (s)ε 2 (s) + gc12 (s)gp11(s)ε 2 (s) = 0 20
=
⎢ ⎢
s
+1
0
⎤ ⎥
⎥
⎢ ⎢⎣
0
1⎥ 5s +1⎥⎦
11
r1
- ε1 Gc11(s)
Gc21 ( s)
Gc12 (s)
r2
- ε 2 Gc22 (s)
Gp11 ( s)
u1
1
y1
2s +1
+
+
1 Gp21 ( s)
0 Gp12 (s)
+
1
+
u2 s +1
y2
Gp22 (s) 12
[解] 由于给定系统为单位反馈系统， 所以串联补偿器
E
=
⎡ E1
⎢ ⎣
E2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡1 ⎢⎣−1
1⎤ 1⎥⎦
det E ≠ 0
矩阵 E 非奇异
满足给定系统实现积分型解耦的充分必要条件。
34
确定矩阵 N
c1 Ad1+1 = c1 A
⎡1 1 0⎤
= [1 0 0] ⎢⎢0 2 0⎥⎥
= [1 1 0] ⎢⎣0 1 3⎥⎦
c2 Ad2 +1 = c2 A2
G(s) = Gp (s)Gc (s)
Gc (s) = Gp−1(s)G(s)
= Gp−1(s)Φ(s)[ I − HΦ(s)]−1
串联补偿器的传递函数矩阵
（5）
7
Φ(s) = [ I + G(s)H ]−1 G(s)
Gc (s) = Gp−1(s)Φ(s)[ I − HΦ(s)]−1
对于单位反馈矩阵 即 H = I
⎢⎣G2
(
s)
⎥ ⎦
= C ( sI − )A −1 B
⎡ s−3
⎢ =⎢
s2 − 3s + 2
⎢⎢⎣−
s2
−
1 5s
+
6
1⎤
s−2
⎥ ⎥
1⎥
s2 − 5s + 6 ⎥⎦
系统存在耦合现象
31
确定矩阵E
Ei
=
lim
s→∞
s
di
+1Gi
(
s
)
E1
=
lim
s→∞
s
G 0+1 1
(s
)
=
lim
s→∞
s 0 +1
= φ11(s)
gc22 (s)gp22 (s) 1+ gc22 (s)gp22 (s)
= φ22 (s)
已知条件
g p11 ( s)
=
1 2s +1
gp22 (s)
=
s
1 +1
φ11 ( s)
=
s
1 +1
φ22
(s)
=
1 5s +1
g c11 ( s)
=
2s +1 s
gc22 (s)
=
s +1 5s
9.6 线性系统的解耦
一般来说，m输入-m输出线性系统的输入和输出 是相互耦合的。
u1
# u2
um
受控对象
y1
# y2 ym
1
解耦控制设计的目的是消除输入输出的关联耦合 作用， 实现每一个输出仅受相应的一个输入的控制， 每一个输入也仅能控制一个相应的输出。
对于多输入多输出系统，实现解耦的前提条件是 输入变量的个数和输出变量的个数相同。
E
=
⎢ ⎢
E2
⎢#
⎥ ⎥ ⎥
为非奇异。
⎢⎢⎣ El ⎥⎥⎦
Ei
=
lim
s→∞
s
di
+1Gi
(
s)
27
为了使解耦系统
⎧ x = ( A + BF ) x + BHr
⎨ ⎩
y
=
Cx
具有式（7）所示的传递函数矩阵 Φ(s) ， 状态反馈
矩阵 F 及输入变换矩阵 H 应取为：
⎡1
F H
= =
−E −1N E −1
选取控制规律 u = Fx + Hr
使得如图所示的状态反馈系统
rH
uB
x ∫ x
+
+
A
y
C
F
⎧ x = ( A + BF ) x + BHr
⎨ ⎩
y
=
Cx
为解耦系统，并要求其传递函数矩阵具有如下形式：23
Φ(s) = C ⎡⎣sI − ( A + BF )⎤⎦−1 BH
非负整数
⎡1
⎢ ⎢
s
d1
⎡ ⎢⎣
s2
s −
−3 3s +
2
1⎤ s − 2 ⎥⎦
= [1 1]
d1 = min (1,1) −1 = 0
32
E2
=
lim
s→∞
s1+1G2 (s)
=
lim
s→∞
s1+1
⎡⎢⎣−
s2
−
1 5s
+
6
1⎤ s2 − 5s + 6 ⎥⎦
= [−1 1]
d2 = min (2, 2) −1 = 1
33
18
Gp11 ( s )
r1
- ε1 Gc11(s)
u1
1
y1
2s +1
+
+
补偿原理
Gc21 (s) Gc12 (s)
1 Gp21 (s)
0 Gp12 (s)
+
1+
r2
- ε 2 Gc22 (s)
u2 s +1
y2
Gp22 (s)
gc11(s)gp21(s)ε1(s) + gc21(s)gp22 (s)ε1(s) = 0 19
Gp11 ( s)
u1
1
y1
2s +1
+
+
1 g
Gc211 (+s)
c22 (s)gp22 (s) gc22 (s)gp22 G(sp2)1
= φ22
(s)
(
s)
Gc12 (s)
0 Gp12 (s)
r2
- ε 2 Gc22 (s)
+
1
+
u2 s +1
y2
Gp22 (s)
17
g c11 ( s) g p11 ( s) 1+ gc11(s)gp11(s)
+1
⎢ =⎢
0
⎢ ⎢
#
⎢
⎢⎣ 0
0
"
0
⎤ ⎥
⎥
1% sd2 +1
#
⎥ ⎥
%%
0
⎥ ⎥
"
1⎥ 0 sdl +1 ⎥⎦
（7）
di = min [ Gi (s) 各元素分母与分子多项式的次数差 ] −1
(i = 1, 2,",l)
24
开环系统的传递函数矩阵
⎡G1(s) ⎤
G(s) = C ( sI − )A −1 B
解耦的方法分为两类：
① 时域法；
② 频域法。
2
本课程将介绍两种解耦方法：
串联补偿解耦法
频域法
状态反馈法
时域法
3
设系统 ( A, B,C ) 是一个 m维输入 m维输出的系统，
⎧ x = Ax + Bu
⎨ ⎩
y
=
Cx
（1）
若其传递函数矩阵为对角形有理分式矩阵
⎡g11(s) 0 " 0 ⎤
⎢
G(s)
u1
1
y1
2s +1
+
+
Gc21 ( s)
1 Gp21 ( s)
g Gc121(s+)
c11 ( s) g p11 ( sG)p12 gc11 ( s) g p11 ( s)
(=s)φ101 (
s)
r2
- ε 2 Gc22 (s)
+
1
+
u2 s +1
y2
Gp22 (s)
16
r1