第七章非线性方程求根
要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断
（2） 迭代公式收敛阶概念
（3） Newton 迭代公式及收敛性左理
复习题：
1、建立一个迭代公式il •算数G = j5 + 7?+辰二,要求分析所建迭代公式的收敛性 解：迭代式为：「卄产
l/o = 5
数d 应是函数卩（x ） = jrr§的不动点（即满足0（a ） = a ）
注意到（1）当xeI0,5］时，恒有0（人）€［0•习
(2)当xe[(X5]时，恒有0Cr) = — <-< 1
2\J X + 5 2
依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到“
2、对于方程—x = 2 »
解：（1）记/（X ）= 8’ — / 一 2
显然 /(_1.9) = 0.0496 >0, /(一1) =-0.6321 <0
当Jce[-L9,-1]时.恒有/V) = e'-l<0
可见/（X ）在区间［-1.9,-I ］内有且仅有一个零点 即方程在区间内有且仅有一个实根
(2)取<p{x} = e^-2 容易验证：（I ）当xe ［-L9,-ll 时，恒有卩（力€［-19-1］,
(II)当 X €[T9-1]时，恒有 0Cr) = 0"<S<l
依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛
(3)记/(x) = 0 J-2
牛顿迭代法形式：和“”-错;
(1) 证明在区间［」・9, .1］内有唯一实根
(2) (3) 无+1-0*-2的收敛性如何？ 扯 e （-L9,-l ）
写出求解该实根的牛顿迭代公式
讨论迭代格式
严-X-2
兀屛=兀------ 汗七―
e" -1
.心=一1・9
3、为求x^-x--\=0/£ L5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的
迭代公式：(1) x = l + A： (2) x = (l + x-)h试分析每一种迭代的收敛性
X-
解：记
⑴ 迭代式为£. = 1+2,这里记9?U)= I+4
注意到/(1・3)/(1・5)<1・并且f\x) = 3x--2x = x(3x-2)>Q.
xe[L3J.5]
所以区间［1.3J.5］为有根区间
2 0([l・3J・5])c[l・3J•习，井且当xe[L3J.5]时，恒有I<p\x} 1< —
<I
依据不动点迭代法收敛世理，知该迭代公式收敛
⑵ 迭代式为兀4=(l + x；)・这里0(0 = (1 + /)了同(1)中讨论，得结
论：该迭代公式收敛
4、对于方程人0'-1 = 0在0.5附近的根。

(1)选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。

(2)给出求解该实根的牛顿迭代公式
解：(1)加一1=0《9 A =—
e'
I X ・=£
构造迭代式：｛ 2 ,即取迭代函数0(羽=严
I/O
首先，容易验证区间［O.IJ］是方程的一个有根区间
^[OJJDc[0.1,1],并且当%e[0J,l]时，恒有I0(x)l<y V1
依据不动点迭代法收敛过理，知该迭代公式收敛设/€［0.tl］是其根的
精确值, 因为= HO,故收敛为线性收敛，即收敛阶p = l
⑵记 f (X)= xe' -1
牛顿迭代法形式：
(£+1)严
1兀=
// I
5、应用牛顿法于方程/（x ） = l -一 =0,导出求V&的迭代公式
解：牛顿迭代法形式，-册
3佔£
2a
如果C/V1・可取兀=1，如果«>1-可取Xy =a
6、对于非线性证明方程x-lnx-2 = 0
（1） 证明在区间（1, 8）有一个单根■并大致估计单根的取值范
围.
（2） 写出Newton 迭代求解该根的迭代公式
解：（1）记f （x ） = x-}nx-2，显然/（X ）处处可微
/(1) = -1<0 , lim /(x) = 4<sc
・K
所以，在区间（1, 8）内至少存在一个实根
另外，由于 /V ） = l-->0 ,X€（l,g ） X
所以，在区间（1, 00）内有且仅有一个实根
/(3) = l-ln3vO, /(4) = 2-ln4>0
可见根xe （3,4）
⑵牛顿迭代法形式―”-鵠
1-4
即：兀+|=兀--才 2a
HP ： <
即：和’一41戸
考虑取如=4
7、据理证明X =1是方程x"-x'-2%-+3x = 1的一个二重根,
井构造计算F的具有平方收敛阶的Newton迭代
解：记/(X)=十一x'-2x2+3兀-1
因为/(1) = 0, r(l)=O,厂⑴HO
所以X = 1是方程/(X)= 0的一个二重根
注意到，当a是/(X)= 0的m重根0«>2)时,
牛顿迭代法求解/(X)= 0仅是线性收敛的
fM
事实上，对于牛顿迭代法，其迭代函数是(p(x} = x-冲
f (-V)
由住是/(X)= 0 的川重根，令/(x) = (x-ay”g(x), g(a)工0,
Cr-a)gCv)
则<p{x) = x- .
mg(x) + (x-a)g(X)
容易验证J 0(a) = 1——
,因w>l,0(a)H(X且0(尤)<1, 故牛顿迭代法是收敛的，但只是线性收敛。

求方程也重根的牛顿迭代法形式：兀+1 =兀-川孕丄
7 (X”)
2(€ - 兀；- 2»・；+3 兀-1)
4xH+3
该迭代至少为平方收敛
8、求方程疋-2x-5 = 0在区间［23］内根的近似值有如下变形
X = yj2x + 5
（1）试判泄对任意初始近似值兀€[2,3]简单迭代法X" =0（忑）的收敛性;
（2）写出求解该实根的Ncwion迭代格式，并考虑迭代初值的选取
解：（1）记0（戈）=範7¥?,容易验证0（[2.3]）c23]
并且I(p\x} 1< < 1
27
所以俠劝作为区间[2,3] 1:的压缩映射，存在一个不动点/ €[2J]
并且对于色0 €[2,3],迭代式Xz=（pg）均收敛到/
⑵牛顿迭代法形式—厂刖
x；+Xn+5
取如=3 （注：满足/（兀）/"（兀）＞0）
9、为数值求得方程x^-x-4 = 0的正根可建立如下迭代格式
7Z-1 »
试利用迭代法的收敛理论证明对于0忑）＞0 r该迭代序列收敛.且满足.lim兀,=x
/Ifno
解：记(p{x} = 4^ + x^ x>0
显然g）卜希Th I
所以，对于V兀＞0,迭代式兀女）均收敛到X
10、对于非线性方程12-3x+2cosx = 0
(1) 证明方程存在唯一实根
2
(2) 证明对于任意的心e R ,迭代式
= 4 + ±cosx,产生的序列"*｝收敛到方程的根
(3) 构造求解该方程根的Newton迭代式
解：（1〉记/（X）= 12-3x + 2cosx
显然/(X)连续可微，又lim /(%) = +O0, lim /(x) = y
.【TY X-X
所以根据连续函数零点存在定理可知3X €（YO ,+S ）・成立/（/） = 0 另外，/\x ） = -3-2sinx<0,可见函数于d ）严格单调递减
故满足/（%） = 0的点/唯一 •即方程存在唯一实根
2
(2)记0(x) = 4 +亍COSX
所以，对于g 迭代式戈知1=0（母）产生的序列｛无｝均收敛到方程的根/
（3）牛顿迭代法形式：耳利=兀-护丄
/ （兀）
EP ：兀”严£ + 12一3・J+2COS 兀
2 “
3 + 2sin ・j 因为0(x)=
2・ —sin X 3
_ 12 + 2(cos 兀 +斗 sinx…) 3 + 2sinx…。