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人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)

必修5数列2.等差数列{}n a 中,()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A .14B .15C .16D .173.等差数列{}n a 中,12910S S a =>,,则前项的和最大.解:0912129=-=S S S S , 10111211111030,00a a a a a a ∴++=∴=∴=>,,又4.已知等差数列{}n a 的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为.解:∵ ,,,,,1001102030102010S S S S S S S ---成等差数列,公差为D 其首项为10010=S ,6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知001213123<>=S S a ,,.①求出公差d 的范围;②指出1221S S S ,,, 中哪一个值最大,并说明理由. 解:①)(6)(610312112a a a a S +=+=36(27)0a d =+>②12671377666()013000S a a S a a a S =+>=<∴<>∴, 最大。

1. 已知等差数列{}n a 中,12497116a a a a ,则,===+等于()A .15B .30C .31D .64794121215a a a a a +=+∴= A2. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,971043014S S S S ,则,=-==.543. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若=+++=118521221a a a a S ,则. 4. 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知50302010==a a ,. ①求通项n a ;②若n S =242,求n . 解:d n a a n )1(1-+=111020193012305021019502n a d a a a a n a d d +==⎧⎧==∴∴=+⎨⎨+==⎩⎩,解方程组5.甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动,甲第一分钟走2m ,以后每分钟比前一分钟多走1m,乙每分钟走5m ,①甲、乙开始运动后几分钟相遇?②如果甲乙到对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前一分钟多走1m ,乙继续每分钟走5m ,那么,开始运动几分钟后第二次相遇?故第一次相遇是在开始运动后7分钟. 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10.已知数列{}n a 中,,31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S . ①求证:数列{}n a 是等差数列; ②求数列{}n a 的通项公式; ③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ,是否存在实数M ,使得M T n ≤对一切正整数n 都成立? 若存在,求M 的最小值,若不存在,试说明理由.12122(1)(1)()2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+∴数列{}n a 为等差数列.②1)1(311-+==+n n a n na a ,{}212121522n a a a a a ∴=-=∴-=即等差数列的公差为1(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+121n +++n 三、等比数列 知识要点1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为()0q q ≠,.2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广:通项公式:递推关系:111 3. 等比中项:若三个数c b a ,,成等比数列,则称b 为a 与c 的等比中项,且ac b ac b =±=2,注:是成等比数列的必要而不充分条件. 4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a qq a q na S n nn5. 等比数列的基本性质,),,,(*∈N q p n m 其中 ①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+,则若,反之不成立! ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn , ③{}n a 为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.④若项数为()*2n n N ∈,则S q S =偶奇.⑤nn m n m S S q S +=+⋅.⑥ ,,,时,n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列. 6. 等比数列与等比数列的转化 ①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ,是等比数列;②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ,是等差数列;③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列. 7. 等比数列的判定法 ①定义法:⇒=+(常数)q a a nn 1{}n a 为等比数列; ②中项法:⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列;③通项公式法:⇒⋅=为常数)q k q k a nn ,({}n a 为等比数列; ④前n 项和法:⇒-=为常数)(q k q k S nn ,)1({}n a 为等比数列. 性质运用1.103107422222)(++++++=n n f 设()()()n N f n *∈,则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----....D2.已知数列{}n a 是等比数列,且===m m m S S S 323010,则,.3.⑴在等比数列{}n a 中,143613233+>==+n n a a a a a a ,,. ①求n a ,②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= .⑵在等比数列{}n a 中,若015=a ,则有等式n n a a a a a a -+++=+++292121)29(*∈<N n n ,成立,类比上述性质,相应的在等比数列{}n b 中,若119=b ,则有等式成立.解:⑴①由等比数列的性质可知:16341616163233321a a a a a a a a a a ⋅=⋅=+=>==又,解得,②由等比数列的性质可知,{}n a lg 是等差数列,因为⑵由题设可知,如果0=m a 在等差数列中有n m n a a a a a a --+++=+++122121)12(*∈-<N n m n ,成立,我们知道,如果q p n m a a a a q p n m +=++=+,则若,而对于等比数列{}n b ,则有q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+,则若所以可以得出结论,若n m n m b b b b b b b --==1221211 ,则有)12(*∈-<N n m n ,成立,在本题中 n n b b b b b b -=372121 则有)37(*∈<N n n ,1.{a n }是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为() ①{a n 2}也是等比数列;②{ca n }(c ≠0)也是等比数列;③{na 1}也是等比数列;④{ln a n }也是等比数列. A .4B .3C .2D .12.等比数列{a n }中,已知a 9 =-2,则此数列前17项之积为 () A .216 B .-216 C .217D .-2173.等比数列{a n }中,a 3=7,前3项之和S 3=21,则公比q 的值为()A .1B .-21 C .1或-1 D .-1或21 4.在等比数列{a n }中,如果a 6=6,a 9=9,那么a 3等于()A .4B .23 C .916 D .25.若两数的等差中项为6,等比中项为5,则以这两数为两根的一元二次方程为()A .x 2-6x +25=0B .x 2+12x +25=0C .x 2+6x -25=0D .x 2-12x +25=06.某工厂去年总产a ,计划今后5年内每一年比上一年增长10%,这5年的最后一年该厂的总产值是 ()A .1.1 4 aB .1.1 5aC .1.1 6aD .(1+1.1 5)a7.等比数列{a n }中,a 9+a 10=a (a ≠0),a 19+a 20=b ,则a 99+a 100等于 ()A .89abB .(ab )9C .910abD .(ab )10 8.已知各项为正的等比数列的前5项之和为3,前15项之和为39,则该数列的前10项之和为()A .32B .313C .12D .159.某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍,则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ()A .11n B .11n C .112-n D .111-n10.已知等比数列{}n a 中,公比2q =,且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=,那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅等于()A .102B .202C .162D .15211.等比数列的前n 项和S n =k ·3n +1,则k 的值为 ()A .全体实数B .-1C .1D .312.某地每年消耗木材约20万3m ,每3m 价240元,为了减少木材消耗,决定按%t 征收木材税,这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ,为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元,则t 的范围是 ()A .[1,3]B .[2,4]C .[3,5]D .[4,6]一、选择题: BDCAD BACDB BC 13.在等比数列{a n }中,已知a 1=23,a 4=12,则q =_________,a n =________. 14.在等比数列{a n }中,a n >0,且a n +2=a n +a n +1,则该数列的公比q =______. 15.在等比数列{a n }中,已知a 4a 7=-512,a 3+a 8=124,且公比为整数,求a 10=. 16.数列{n a }中,31=a 且n a a n n (21=+是正整数),则数列的通项公式=n a . 二、填空题:13.2, 3·2n -2. 14.251+.15.512 .16.123-n . 17.已知数列满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N *).(1)求证数列{a n +1}是等比数列;(2)求{a n }的通项公式. (1)证明由a n +1=2a n +1得a n +1+1=2(a n +1)又a n +1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n +1}为等比数列.(2)解析:由(1)知a n +1=(a 1+1)q n-1即a n =(a 1+1)q n -1-1=2·2n -1-1=2n -118.在等比数列{a n }中,已知对n ∈N *,a 1+a 2+…+a n =2n -1,求a 12+a 22+…+a n 2.解析:由a 1+a 2+…+a n =2n -1①n ∈N *,知a 1=1且a 1+a 2+…+a n -1=2n -1-1 ②由①-②得a n =2n -1,n ≥2又a 1=1,∴a n =2n -1,n ∈N *212221)2()2(-+=n n nn a a =4 即{a n 2}为公比为4的等比数列∴a 12+a 22+…+a n 2=)14(3141)41(21-=--n na 19.在等比数列{a n }中,已知S n =48,S 2n =60,求S 3n .解析一:∵S 2n ≠2S n ,∴q ≠1根据已知条件121(1)481(1)601n na q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-=⎪⎪-⎩①②②÷①得:1+q n =45即q n =41③③代入①得q a -11=64 ④∴S 3n =q a -11 (1-q 3n )=64(1-341)=63 解析二:∵{a n }为等比数列∴(S 2n -S n )2=S n (S 3n -S 2n )∴S 3n =48)4860()(22222-=+-n n n n S S S S +60=63 20.求和:S n =1+3x +5x 2+7x 3+…+(2n -1)x n -1(x ≠0).解析:当x =1时,S n =1+3+5+…+(2n -1)=n 2当x ≠1时,∵S n =1+3x +5x 2+7x 3+…+(2n -1)x n -1,① 等式两边同乘以x 得:xS n =x +3x 2+5x 3+7x 4+…+(2n -1)x n .② ①-②得:(1-x )S n=1+2x (1+x +x 2+…+x n -2)-(2n -1)x n =1-(2n -1)x n +1)1(21---x x x n ,∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n .21.在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2·a n -1=128,且前n 项和S n =126,求n 及公比q .解析:∵a 1a n =a 2a n -1=128,又a 1+a n =66,∴a1、a n是方程x2-66x+128=0的两根,解方程得x1=2,x2=64,∴a1=2,a n=64或a1=64,a n=2,显然q≠1.22.某城市1990年底人口为50万,人均住房面积为16 m2,如果该市每年人口平均增长率为1%,每年平均新增住房面积为30万m2,求2000年底该市人均住房的面积数.(已知1.015≈1.05,精确到0.01 m2)解析:依题意,每年年底的人口数组成一个等比数列{a n}:a1=50,q=1+1%=1.01,n=11 则a11=50×1.0110=50×(1.015)2≈55.125(万),又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n}:b1=16×50=800,d=30,n=11∴b11=800+10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为:1100÷55.125≈19.95(m2)。

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