（√ ）
（ ×）
6、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
如 图 ,在平行 A四 B中 C 边 A D ， 形 B 4A , D 3,
D
DA 6B0 ,求 :1.AD BC
2.ABCD 3.ABDA
60
A
C B
解:1因为 AD 与BC平行且方,向相同
AD与BC的夹角0为 .
AB D C AD Bc C0 o s 3 3 1 9
《平面向量的数量积》课件1
问题情境
F θ
O
位移S
F
θ S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所
做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
平面向量的数量积
学习目标：
1、掌握平面向量的数量积的定义及几何意义 2、掌握平面向量数量积的性质
下面请同学们看课本并思考如下问题：
8、总结提炼
a•b=│a││b│COSθ
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质
（2）向量的数量积的物理模型是力做功
（3） a•b的结果是一个实数（标量）
（4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量
的夹角，尤其是判定垂直
（5）两向量夹角的范围是 0 180
（6）五条基本性质要掌握
的方向上的投影│b│COSθ的积
OB＝ │b│COSθ
b
θa
O
B
4、向量数量积的性质 a•b=│a││b│COSθ
设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单
位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e•a=│__a_│__C_OS_θ___;a•e=│__a_│_C_O_S_θ__
e•a=a•e
(2)a b_ ___a•b=0
3、已知 ABC 中，AB＝a，AC＝b 当a•b<0时，ABC是＿钝＿角＿三角形；
135 °
当a•b=0时，ABC是＿直＿角＿三角形
4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为
45°、90°、135°时，求出a3在2e方向上的投影
32 0
作业5
5、已知 ABC中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA －20
投影是一个数值（实
数），当θ为锐角时， 它是正值；当θ为钝角
90时 │b│COSθ＝＿0＿
时│b0│ COSθ＝＿＿
│ b│18CO0Sθ＝＿＿
│b│时 －│b│
是 向 量
时，它是负值。
吗
a•b=│a││b│COSθ
3、向量数量积的几何意义
a•b的几何意义： 数量积a•b等于a的长度│a│与b在a
看课本116—117页并思考如下问题：
1、向量的夹角是如何定义（规定）的？
2、向量的数量积如何定义，它与物理中力 做功有什么联系？
3、向量的数量积是向量吗？向量在方向上 的投影是向量吗？
4、平面向量的数量积有什么样的几何意义？
1、向量的夹角
已知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，作
OA=a,OB=b,则 AO B (018 叫)0 做向量a
思考2：在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，
并说明它的几何意义是什么？
B
B
b
B1
O （1）a A
b
a B
O
1（2）
A
b
O
(
B
1
)a
（3）
A
过b的终点B作OA＝a的垂线段BB 1 ，垂足为
角三角形的性质得 OB 1 =│b│COSθ
B
1
，Байду номын сангаас由直 投
│b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。
影
与b的夹角
指出下列图中两向量的夹角
.
A.
OA B
OB
（1）
（2）
A
O （3）
B
O A
B
（4）
180
0
(1)中OA与OB的夹角为 （2）中OA与OB的夹角为
（3）中OA与OB的夹角为AOB（4）中OA与OB的夹角为
（当 0 时，a与同b向＿＿；当 180 时，a与反b向＿＿； 当 90 时，a与b＿垂＿直，记作 ab）
（1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0 （ √ ）
（2）若a0，则对任意非零向量b，有a• b 0
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|²
（6）若a0，且a•b= a•c ，则b=c
=│a│COSθ
(3)当a与b同向时，a•b=│__a_│_│__b_│_
当a与b异向时，a•b=_-│__a_│__│_b_│___
a•a=__a__2 ____
(4) │ a•b │___ │a││b│
(5)cos＝ a b
__a _b___
性质4
5、反馈练习:判断正误
a•b=│a││b│COSθ
(7) 德育与美育的渗透
9、作业布置 《优化设计》P82随堂训练 1、4、6 P83强化训练 2、8
证明向量数量积性质4
a•b=│a││b│COSθ
(4) │ a•b │ │a││b│
因为a•b=│a││b│COSθ
所以│a•b│
=│a││b││COSθ│ 又│COSθ│ 1
所以│ a•b │ │a││b│ 0或 180
AB与DA 的夹角 12是 0
要根据两个 向量方向确 定其夹角
AD B A AD BcA 1 o2 s 4 0 3 1 6 2
7、课时作业：
a•b=│a││b│COSθ
1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p•q 24
2、设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－54 2 ，求a和b的夹角
2
或ADBCAD9
例题 2.ABCD 3.ABDA a•b=│a││b│COSθ
D
C
2.A与 BC平 D ,行 且方向相反
AB与CD 的夹角 18是 0 ABCD ABCDco1s80
60
A
B
120
进行向量数
44116
量积计算时,
2
或 AB CD AB16
既要考虑向 量的模,又
3. A与 BA的 D 夹6角 0 , 是
思考：在什么情况下取等号？
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反馈练习（2）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0吗？
分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 90
2、数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，我们
把数量 a b cos叫做向量a与b的数量积（或内积）
记作 a•b即 a•babcos并规定 0•a0
思考1：在平面向量的数量积定义中，它与两个向 量的加减法有什么本质区别？
向量的加减的结果还是向量，但向量的数量积结果 是一个数量（实数）。 （这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）