2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的
几何性质课堂导学案 新人教B 版选修1-1
三点剖析
一、利用抛物线定义求最值
【例1】 在抛物线x 2=8y 上求一点P ，使得P 点到焦点的距离与P 点到定点A (1，3)的距离
之和最小，并求出这个最小距离.
解析：过A 作直线l 与准线垂直交于点A ′，与抛物线交于点P ，则P 点即为所求. 将P (1，y )代入x 2=8y 中，则y =81，于是点P 的坐标为(1,8
1)，且最小距离d =5. 温馨提示
此题解法中将点P 到焦点F 与点A 的最小距离，转化为线段AA ′的长，是紧扣定义得到的，这一方法在解决圆锥曲线问题时经常用到.
二、焦点弦问题
【例2】 已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程.
思路分析：弦所在的直线经过焦点(1，0)，只需求出直线的斜率，因为弦长为36，所以可以判断直线的斜率是存在的且不为0.
解析：由题意可设弦所在的直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点.
∵抛物线y 2=4x 的焦点F (1，0)，
∴直线方程为y =k (x -1).
由,4)1(2⎩⎨⎧=-=x
y x k y 整理得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0.
∴x 1+x 2=2242k
k +. ∴｜AB ｜=｜AF ｜+｜BF ｜
=x 1+x 2+2=2
242k k ++2. 又｜AB ｜=36，∴2242k
k ++2=36, 解得k 2=81,即k =±4
2.
∴所求直线方程为y =42(x -1)或y =-4
2(x -1). 温馨提示
(1)此题也可以先求出两交点坐标，再根据两点间的距离公式列出等式求出k ，但是计算复杂，一般不采用.
(2)也可以利用弦长公式｜AB ｜=21k +｜x 1-x 2｜来求，这个方法普遍适用于求二次曲线的弦长.
(3)因为本题的弦是过焦点的，是特殊位置的弦，所以结合抛物线的定义得到｜AB ｜=x 1+x 2+p ,解起来更简捷.
三、直线与抛物线的位置关系
【例3】 直线l ：y =kx +1,抛物线C ：y 2=4x ，当k 为何值时l 与C 有(1)一个公共点；(2)两
个公共点；(3)没有公共点.
解析：将l 和C 的方程联立,412⎩⎨⎧=+=x
y kx y 消去y ，得k 2x 2+(2k -4)x +1=0.(*) 当k =0时，方程(*)只有一个解x =
41,∴y =1. ∴直线l 与C 只有一个公共点(4
1，1)，此时直线l 平行于对称轴. 当k ≠0时，方程(*)是一个一元二次方程.
(1)当Δ＞0，即k ＜1,且k ≠0时，l 与C 有两个公点，此时称直线l 与C 相交；
(2)当Δ=0，即k =1时，l 与C 有一个公共点，此时称直线l 与C 相切；
(3)当Δ＜0,即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时称直线l 与C 相离.
综上所述，可知：当k =1或k =0时，直线l 和C 有一个公共点；当k ＜1,且k ≠0时，直线l 和C 有两个公共点；当k ＞1时，直线l 和C 没有公共点.
温馨提示
一般地，直线与抛物线相切，直线与抛物线只有一个公共点；反过来，直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定是相切的(如图).因此，直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要而非充分条件.
各个击破
类题演练1
给定抛物线y 2=2x ，设A (a ,0),a ＞0，P 是抛物线上的一点，且｜PA ｜=d ,试求d 的最小值.
解析：设P (x 0,y 0),(x 0≥0),
则y 20=2x 0,
∴d =｜PA ｜=.12)]1([2)()(200202020-+-+=+-=+-a a x x a x y a x
∵a ＞0,x 0≥0,
∴(1)当0＜a ＜1时，1-a ＞0,此时当x 0=0时，
d 最小=.12)1(2a a a =-+-
(2)当a ≥1时，1-a ≤0,
此时当x 0=a -1时，
d 最小=12-a
变式提升1
抛物线y 2=2px 动弦AB 长为a (a ≥2p ),弦AB 中点到y 轴最短距离是( ) A.2
a B.
2p C.22p a + D.22p a - 答案：D
类题演练2
过抛物线y 2=2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点. 求证：.2||1||1p
FB FA =+ 证明：设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),则｜FA ｜=x 1+
2p ,｜FB ｜=x 2+2p ,｜AB ｜=x 1+x 2+p 当AB ⊥x 轴时，结论显然成立；当AB 不垂直于x 轴时，⎪⎩
⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(2
消去y 得k 2x 2-p (k 2
+2)x +42
2p k =0, 则x 1+x 2=22)2(k
k p +,x 1x 2=42
p , .24
)(2)2
)(2(|
|112
2121212121p p x x p x x p x x p x p x p x x FB |FA|=+++++=++++=+
变式提升2
(2006湖北黄冈中学综合能力测试(三)，14)已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|
|||21PF PF =e ，则e 的值为_________. 解析：如图，抛物线准线为x =-3c ,,|
|||21e PF PF =
又｜PF 2｜=｜P H ｜，∴||1PH PF =e ,∴x =-3c 也为椭圆E 的准线.∴-c a 2=-3c ⇒e =3
3. 答案：3
3
类题演练3 设双曲线22
a
x -y 2=1(a ＞0)与直线x +y =1相交于两个不同的点A 、B ，求a 的取值范围. 解析：由C 与l 相交于两个不同的点， 故知方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y a x 有两个不同的实数解，消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0 ①
所以⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-0
)1(84012222a a a a 解得0＜a ＜2且a ≠1. 故a 的取值范围是(0，1)∪(1，2)
变式提升3
设抛物线y 2=2px (p ＞0)上各点到直线3x +4y +12=0的距离的最小值为1，求p 的值. 解析：由题意可知，抛物线必在直线3x +4y +12=0的上方.
则直线3x +4y +12=0上方且和它相距为1的直线方程为3x +4y +7=0.
由题意⎩⎨⎧=++=0
74322y x px y 只有一解.
消去x 得：p
y 232
+4y +7=0. 由Δ=16-4×p 23×7=0,所以p =821.。