典型例题： 1、过河问题例 1．小船在 200m 的河中横渡，水流速度为 2m/s ，船在静水中的航速是 4m/s ，求：1．小船怎样过河时间最短，最短时间是多少？2．小船怎样过河位移最小，最小位移为多少？v 2v 1解： 如右图所示，若用 v 1 表示水速， v 2 表示船速，则：①过河时间仅由 v 2 的垂直于岸的分量 v ⊥决定，即 td，与 v 1 无关，所以当 v 2⊥岸时，v过河所用时间最短，最短时间为 td也与 v 1 无关。
v 2②过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当 v1＜v2 时，最短路程为 d ；2、连带运动问题指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。
由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。
例 2 如图所示，汽车甲以速度 v 1 拉汽车乙前进，乙的速度为 v 2，甲、乙都在水平面上运 动，求 v 1 ∶v 2v 1v 1 和 v 2cos α，两者应该甲v 1解析：甲、乙沿绳的速度分别为v 2α乙 相等，所以有 v 1∶v 2=cos α∶13、平抛运动例 3 平抛小球的闪光照片如图。
已知方格边长a 和闪光照相的频闪间隔 T ，求： v 0、 g 、 v c解析：水平方向： v 02a竖直方向： s gT 2 , gaATT 2B先求 C 点的水平分速度 v x 和竖直分速度 v y ，再求合速度 v C ：Cv xv 02a, v y5a, v ca 41 DT2T2T（ 2）临界问题E典型例题是在排球运动中， 为了使从某一位置和某一高度水平扣 出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值范围应是多少？例 4 已知网高 H ，半场长 L ，扣球点高 h ，扣球点离网水平距离 s 、求：水平扣球速度 v 的取值范围。
解析：假设运动员用速度 v max 扣球时，球刚好不会出界，用速度 v min 扣球时，球刚好不触v max L s / 2h ( L s) g ；g 2hvvmin2(h H )sgh s / g 2( h H )实际扣球速度应在这两个值之间。
s H L 4、圆周运动r 、r 、 r ，b 点到圆心的距离为例 5 如图所示装置中，三个轮的半径分别为 2 4b、 c、 d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
c 解析： v a= v c，而 v b∶v c∶vd =1 ∶2∶4，所以 v a∶ v b∶ v c∶v d =2∶ 1∶ 2∶ 4；ωa∶ωb=2∶ 1，而ωb=ωc=ωd，所以ωa∶ωb∶ω c∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得a a∶a b∶a c∶a d=4∶1∶r ，求图中 a、b a2∶ 4 d 点评：凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。
例6 小球在半径为 R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度 v、周期 T 的关系。
（小球的半径远小于 R。
）解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F 是重力 G和支持力 N 的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。
如图所示有：mg tan mv 2 mRsin 2 ，RsinR cos h ，N由此可得：v gRtan sin ,T 2 2 θg g F（式中 h 为小球轨道平面到球心的高度）。
可见，θ越大（即轨迹所在平面越高），v 越大， T 越小。
点评：本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。
共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
例 7：长 l 0.5m ，质量可忽略不计的杆，其下端固定于O 点，上端连接着F N 质量 m 2kg 的小球A，A绕O点做圆周运动，如图所示，在A点通过最高点mg 时，求在下面两种情况下，杆的受力：O2 图 11解析：对 A 点进行受力分析，假设小球受到向上的支持力，如图所示，则有F向mg F N则 F N mg m v 2 分别带入数字则有l⑴F N =16N⑵F N = -44N 负号表示小球受力方向与原假设方向相反例8 质量为 M的小球在竖直面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点不脱离轨道的临界速度是 V，当小球以 3V 速度经过最高点时，球对轨道的压力大小是多少？解析：对 A 点进行受力分析，小球受到向下的压力重力，其合力为向心力，有F向mg F N则 F N m v2mgl例解得 F N = 8mgM 的物体 A 静止在水平转盘上，细绳另一9如图所示，用细绳一端系着的质量为O吊着质量为=0.6kg ．若端通过转盘中心的光滑小孔m 的小球 B，A的重心到 O点的距离为A 与转盘间的最大静摩擦力为 f =0.3kg 0.2m，为使小球 B 保持静止，求转盘绕中心 O旋转的角速度ω的取值范围．（取g 2 ）=2N=10m/s解析：要使 B 静止， A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度． A 需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时， A 有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时， A 有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心 O．对于 B，T mg=对于 A，T f Mr 21T f Mr 2 21 6.5 rad/s2 2.9 rad/s所以 2.9 rad/s 6.5 r ad/s练习：1．在质量为 M的电动机飞轮上，固定着一个质量为 m的重物，重物到轴的距离为 R，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过A．M mg B．M m g mR mRC．M m gD．Mg mR mR例 10 地球表面的平均重力加速度为 g ，地球半径为 R ，万有引力恒量为 G ，可以用下 式估计地球的平均密度是（ ）3g3gggA ． 4 RGB ． 4 R 2G C ． RG D ． R 2G解析 在地球表面的物体所受的重力为mg ，在不考虑地球自转的影响时即等于它受到的Mm mgG2地球的引力，即：R①MV4 R3密度公式V②地球体积3③由①②③式解得3g4RG，选项 A 正确。
点评 本题用到了“平均密度”这个概念，它表示把一个多种物质混合而成的物体看成M是由“同种物质”组成的，用 V 求其“密度”。
例 11 “神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第 5 圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度 h=342km 的圆形轨道。
已知地球半径R=6.37× 103km ，地面处的重力加速度 g=10m/s 2 。
试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期 T 的公式（用 h 、R 、g 表示），然后计算周 期 T 的数值（保留两位有效数字） 。
解析 因万有引力充当飞船做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：G Mmm 4 2(Rh)G Mm 'm' g(R h)2T 2①又 R2 ②T2 (Rh) R hRg代入数据解得： T=5421s由①②得：例 12 全球电视实况转播的传送要靠同步卫星。
同步卫星的特点是轨道周期与地球自转的周期相同。
如果把它旋转在地球赤道平面中的轨道上，这种卫星将始终位于地面某一点的上空。
一组三颗同步卫星，按图所示，排成一个正三角形，就可以构成一个全球通讯系统基 地，几乎覆盖地球上全部人类居住地区， 只有两极附近较小的地区为盲区。
试推导同步卫星的高度和速度的式子。
设地球的质量用M 表示，地球自转 的角速度用 ω 表示。
解析 设卫星质量为 m ，轨道半径为 r ，根据同步卫星绕地心的匀速圆 周运动所需的向心力即为它受到的地球的引力，则有GMmm 2 r 。
解得 r 2GMr 32G=6.67×。
其中 ω =7.27 × 10-5 rad/s 是地球的自转角速度， -11 2 2 是万有引力常量， 2410 N · m/kg M=5.98×10 kg 是地球的质量。
将这些数据代入上式，得同 步卫星离地心的距离为 r=4.23 × 107m 。
v rGM3它的速率是 2，其数值大小为： v=r ω =4.23 ×107×7.27 ×10-5 m/s=3.08 × 103m/s点评 三颗互成 120°角的地球同步卫星，可以建立起全球通信网，每颗卫星大约覆盖40%的区域，只有高纬度地区无法收到卫星转播的信号。
例 13 地球同步卫星离地心距离为 r ，环绕速度大小为 v 1，加速度大小为 a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为 a 2，第一宇宙速度为 v 2 ，地球半径为 R ，则下列关系式正确的是 （ ）a 1r a 1( r)2A ． a2R B ．a2Rv 1 r v 1RC ．v2RD ．v2r解析 在赤道上的物体的向心加速度 a2≠ g ，因为物体不仅受到万有引力，而且受到地面对物体的支持力；随地球一起自转的物体不是地球卫星，它和地球同步卫星有相同的角速度；速度 v 1 和 v 2 均为卫星速度，应按卫星速度公式寻找关系。
设地球质量为 M ，同步卫星质量为 m ，地球自转的角速度为 ω，则a2r赤道上的物体 a2 2R对同步卫星 1a 1rGMmmv 12所以 a2R 对同步卫星 r2rv 1GMv 2 GM v 1RrR所以v2r所以 第一宇宙速度故答案为 AD 。
例 14a 1 g某物体在地面上受到的重力为 160N ，将它放置在卫星中， 在卫星以加速度 2随火箭向上加速度上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N 时，求此时 卫星距地球表面有多远？（地球半径 R=6.4× 103km ，g 取 10m/s 2）解析 设此时火箭上升到离地球表面的高度为 h ，火箭上物体受到的支持力为 FN ，物体 受到的重力为 mg ’，据牛顿第二定律F Nmg ' ma①mg' MmmgG MmG2在 h 高处(R h)②在地球表面处R2 ③mgR 2②③代入①F N( h R )2mah R(mg1)1.92 104(km)F ma ∴ N点评 （ 1）卫星在升空过程中可以认为是坚直向上做匀加速直线运动，可根据牛顿第二定律列出方程，但要注意由于高度的变化可引起的重力加速度的变化，应按物体所受重力约等于万有引力列方程求解。