2019年高三数学下期末试题附答案(1)一、选择题1.如图,点是抛物线的焦点,点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则周长的取值范围是( )A .B .C .D .2.如图所示的组合体,其结构特征是( )A .由两个圆锥组合成的B .由两个圆柱组合成的C .由一个棱锥和一个棱柱组合成的D .由一个圆锥和一个圆柱组合成的3.如图,12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点,过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点.若11::3:4:5AB BF AF =,则双曲线的渐近线方程为( )A .23y x =±B .2y x =±C .3y x =D .2y x =±4.已知F 1,F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点,若椭圆C 上存在点P ,使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2,则椭圆C 离心率的取值范围是( )A .2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .12,32⎡⎢⎣⎦C .1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦5.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4为朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有A .4种B .10种C .18种D .20种6.已知平面向量a v ,b v是非零向量,|a v |=2,a v⊥(a v +2b v ),则向量b v在向量a v方向上的投影为( ) A .1B .-1C .2D .-27.若,αβvv 是一组基底,向量γv=x αu v +y βu v(x,y ∈R),则称(x,y)为向量γv在基底αu v ,βuv 下的坐标,现已知向量αu v 在基底p u v =(1,-1), q v =(2,1)下的坐标为(-2,2),则αu v 在另一组基底m u v=(-1,1), n v=(1,2)下的坐标为( ) A .(2,0) B .(0,-2) C .(-2,0) D .(0,2)8.函数()sin(2)2f x x π=-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π=对称,则关于函数()y g x =以下说法正确的是( )A .最大值为1,图象关于直线2x π=对称B .在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,为奇函数 C .在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 D .周期为π,图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 9.水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示,已知4B C ''=,3AC ''=,//'''B C y 轴,则ABC V 中AB 边上的中线的长度为( )A .73B .73C .5D .5210.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )A .相交B .平行C .异面而且垂直D .异面但不垂直11.已知全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,则U A B =I ð( )A .{}1-B .{}0,1C .{}1,2,3-D .{}1,0,1,3- 12.已知锐角三角形的边长分别为2,3,x ,则x 的取值范围是( ) A .513x << B.135x << C .25x <<D .55x <<二、填空题13.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是_______. 14.复数()1i i +的实部为 .15.在极坐标系中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切,则a =__________.16.若x ,y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,则32z x y =+的最大值为_____________.17.能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立,则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________.18.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0)y px p =>,如图一平行于x 轴的光线射向抛物线,经两次反射后沿平行x 轴方向射出,若两平行光线间的最小距离为4,则该抛物线的方程为__________.19.若45100a b ==,则122()a b+=_____________.20.在ABC ∆中,若13AB =3BC =,120C ∠=︒,则AC =_____.三、解答题21.如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形,连接BD ,其中DA DP =,BA BP =.(1)求证:PA BD ⊥;(2)若DA DP ⊥,060ABP ∠=,2BA BP BD ===,求二面角D PC B --的正弦值.22.已知曲线C :(t 为参数), C :(为参数).(1)化C ,C 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C 上的点P 对应的参数为,Q 为C 上的动点,求中点到直线(t 为参数)距离的最小值.23.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()5,0,离心率为5.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点()00,P x y 为椭圆外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.24.十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:附:参考数据与公式 6.92 2.63≈,若 ()2~,X Nμσ,则①()0.6827P X μσμσ-<+=…;② (22)0.9545P X μσμσ-<+=…;③(33)0.9973P X μσμσ-<+=….(1)根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x (单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ()2,N μσ,其中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ,经计算得:2 6.92s =,利用该正态分布,求:(i )在2019年脱贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?(ii )为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立,问:这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?25.已知函数()ln f x x x =. (1)若函数2()1()f x g x x x=-,求()g x 的极值; (2)证明:2()1xf x e x +<-.(参考数据:ln20.69≈ ln3 1.10≈ 32 4.48e ≈ 27.39e ≈)26.某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ,大棚II 内的地块形状为CDP V ,要求,A B 均在线段MN 上,,C D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP V 的面积,并确定sin θ的取值范围;(2)若大棚I 内种植甲种蔬菜,大棚II 内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】圆(y ﹣1)2+x 2=4的圆心为(0,1),半径r =2,与抛物线的焦点重合,可得|FB |=2,|AF |=y A +1,|AB |=y B ﹣y A ,即可得出三角形ABF 的周长=2+y A +1+y B ﹣y A =y B +3,利用1<y B <3,即可得出. 【详解】抛物线x 2=4y 的焦点为(0,1),准线方程为y =﹣1, 圆(y ﹣1)2+x 2=4的圆心为(0,1), 与抛物线的焦点重合,且半径r =2, ∴|FB |=2,|AF |=y A +1,|AB |=y B ﹣y A , ∴三角形ABF 的周长=2+y A +1+y B ﹣y A =y B +3, ∵1<y B <3,∴三角形ABF 的周长的取值范围是(4,6).故选:B . 【点睛】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2.D解析:D 【解析】 【分析】根据圆柱与圆锥的结构特征,即可判定,得到答案. 【详解】根据空间几何体的结构特征,可得该组合体上面是圆锥,下接一个同底的圆柱,故选D. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征,其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.3.A解析:A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====,利用双曲线的定义求出3x =和a 的值,再利用勾股定理求c ,由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====,由双曲线的定义得:345x x +-=-,解得:3x =,所以2212||46413F F =+=13c ⇒=,因为2521a x a =-=⇒=,所以23b =, 所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程,解题时要注意如果题干出现焦半径,一般会用到双曲线的定义,考查运算求解能力.4.C解析:C 【解析】 如图所示,∵线段PF 1的中垂线经过F 2,∴PF 2=12F F =2c ,即椭圆上存在一点P ,使得PF 2=2c. ∴a-c≤2c≤a+c.∴e=1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时,常转化为x,y 的范围,焦半径的范围,从而求出离心率的范围。