2019年09月01日xx 学校高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 总分 得分评卷人 得分一、选择题1.设121iz i i-=++则z = ( ) A. 0B. 12C. 1D. 2答案：C 解析：()()()()11222112i i i z i i i i i ---=+=+=++,1z=,故选C2.已知集合=-->2{|20}A x x x ,则R C A = ( )A. {}|12x x -<<B. {|12}x x -≤≤C. <->{|1}{|2}x x x xD. {}{}|1|2x x x x ≤-⋃≥答案：B解析：由题得()(){}210A x x x =-+>={|2x x >或1}x <-，故{}12R C A x x =-≤≤，故选B3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。

为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。

得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( )A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 答案：A解析：设建设前总经济收入为100则建设后总经济收入为200对于A,建设前种植收入为10060%60⨯=,建设后种植收入为20037%74,6074⨯=<故A 借误:对于B,建设前其他收入为1004%4⨯=,建设后其他收入为2005%10,1024⨯=>⨯,故B 正确对于C,建设前养殖收入为10030%30⨯=,建设后养殖收入为20030%60,60230⨯==⨯,故C 正确:对于D,建设后,养殖收入占30%,第三产业收入占28%,30%28%58%50%+=>故D 正确:4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若32413,2S S S a =+=,则5a = ( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 答案：B解析：由{}n a 为等差数列，且3243S S S =+，故有1113221433324222a d a d a d ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1320a d +=又由12a =，故可得3d =-，故51424(3)10a a d =+=+⨯-=-，故选B5.设函数32()(1)f x x a x ax =+-+,若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( ) A. 2y x =- B. y x =- C. 2y x = D. y x = 答案：D解析：因为()f x 是奇函数，所以()()11f f -=-，即()()1111a a a a -+--=-+-+解得1a =，所以()()231,01f x x f '=+=，故切线方程为：y x =，故选D6.在ABC ∆中, AD 为BC 边上的中线, E 为AD 的中点,则EB = ( )A.3144AB AC - B. 1344AB AC -C.3144AB AC + D. 1344AB AC +答案：A解析：由AD 是BC 边上的中线，E 为AD 的中点，故111131222244EB EA AB DA AB AB AB AC AB AC ⎛⎫=+=+=-+=- ⎪⎝⎭，故选A 7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( )A. 217B. 25C.3D. 2 答案：B解析：设过点M 的高与圆柱的下底面交于点 O ,将圆柱沿MO 剪开, 则,M N 的位置如图所示,连接MN ,易知2,4OM ON ==,则从M 到N 的最短路径的长度为22222425OM ON +=+=.8.设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点,则FM FN ⋅= ( )A.5B.6C.7D.8 答案：D解析：由直线过点()2,0且斜率为23故可得直线MN 为()223y x =+,联立直线MN 与抛物线()22234y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得1{2x y ==或4{4x y ==，故可设()1,2M ,则()4,4N .又由抛物线焦点()1,0F ，故()0,2FM =,()3,4FN =,所以03248FM FN ⋅=⨯+⨯=,故选D9.已知函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,()()g x f x x a =++,若()g x 存在2个零点,则a 的取值范围是( )A. [)1,0-B. [)0,+∞C. [)1,-+∞D. [)1,+∞ 答案：C解析：()g x 有两个零点等价于()f x 与y x a =--有两个交点,由图可知,当1a -≤,即1a ≥-时, y 与()f x 有两个交点,故选C10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边,AB AC .ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为123,,p p p ,则( )A. 12p p =B. 13p p =C. 23p p =D. 123p p p =+答案：A解析：假设2,2,2AC a AB b BC c ===,由三角形ABC 是直角三角形,故有222AC AB BC +=,即()()()222222a b c +=,即有222a b c +=,故区域Ⅰ的面积为2222a bab ⨯=,区域Ⅱ的面积为22222222a b c ab ab πππ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭,区域Ⅲ的面积为()2222222a b c ab ab ππ+-=-又由于总区域固定,故12p p =·即选A 11.已知双曲线:C 2213x y -=,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N 若OMN △为直角三角形,则MN =( ) A.32B.3C.3D.4答案：B解析：因为双曲线2213x y -=的渐近线方程为33y x =±，所以60MON ∠=︒.不妨设过点F 的直线与渐近线33y x =交于点M ，且90OMN ∠=︒，则60MFO ∠=︒，又直线MN 过点(2,0)F ，所以直线MN 的方程为3(2)y x =--，由3(2)33y x y x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩得3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点M 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2233322OM ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以33MN OM ==故选B12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334 B. 233 C. 324 D. 32答案：A解析：如图所示平面1AB C 与平面的所有棱缩成角都相等故//α平面1AB C ，构造平面//MNPQRS 平面1AB C 设1A S x =,2SP =2SR PQ MN x ===,2(1)SM RQ PN x ===-故=SRQP SMNP S S S ==六边形222(1)6226(1)322)x x x x x x +-+-=+-当12x =时max 334S =评卷人 得分二、填空题13.若,x y 满足约束条件220,10,0,x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则32z x y =+的最大值为__________。

答案：6解析：作出约束区域如图所示,目标函数化为322z y x =-+ 当322zy x =-+直线经过(2,0)时有最大截距,且此时z 取得最大值。

故当2,0x y ==时z 取得最大值max 32206z =⨯+⨯=14.记n S 为数列{}n a 的前n 项的和,若21n n S a =+,则6S =__________。

答案：63-解析：由题意,当1n =时, 11=21a a +,解得1a =-1当2n ≥时111(2+1)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+=- 化简得12(2)n n a a n -=≥故{}n a 是以1-为首项, 2为公比的等比数列,因此66(1)(12)=6312S -⨯-=-- 15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有__________种.(用数字填写答案) 答案：16解析：可分两种情况:第一种情况,只有1位女生人选,不同的选法有1224C C 12= (种); 第二种情况,有2位女生人选,不同的选法有2124C C 4= (种).根据分类加法计数原理,知至少有1位女生入选的不同的选法有 16种. 16.已知函数()2sin sin 2f x x x =+,则()f x 的最小值是__________。

答案：332-解析：显然(2)()f x f x π+=,故()f x 是以为2π周期的函数又'2()2cos 2cos 22(2cos cos 1)2(cos 1)(cos 1)f x x x x x x x =+=+-=-+故当1cos 2x >,即22()33k x k k z ππππ-<<+∈时, ()f x 单调递增 当1cos 2x <,即522()33k x k k z ππππ+<<+∈时, ()f x 单调递减所以2()3x k k z ππ=-∈时, ()f x 取得最小值不妨令0?k =,取3x π=-代入()f x 得min 233()2sin sin 332f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭评卷人 得分三、解答题17.在平面四边形ABCD 中, 90,ADC ∠=︒45,A ∠=2,AB = 5.BD = 1.求cos ADB ∠;2.若22,DC =求BC答案：1.在ABD ∆中,由正弦定理可知:sin sin BD ABA ADB =∠∠∴52sin 22ADB=∠∴2sin 5ADB ∠= 由()()22sin cos 1ADB ADB ∠+∠=得()223cos 25ADB ∠=∵0,2ADB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭∴23cos 5ADB ∠=2.∵90ADC ∠=︒,2cos cos sin 25BDC ADB ADB π⎛⎫∠=-∠=∠=⎪⎝⎭又由余弦定理知: 22222582cos 252522BD DC BC BC BDC BD DC +-+-∠===⨯⨯⨯ 解得: 225,BC =∴5BC =解析：18.如图,四边形ABCD 为正方形, ,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC ∆折起,使点C 到达点P 的位置,且PF F ⊥B .1. 证明:平面PEF ⊥平面ABFD ;2.求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值答案：1.证明:∵,E F 分别为,AD BC 的中点,四边形ABCD 为正方形∴//,EF AB BC AB ⊥∴BC EF ⊥∵PF BF ⊥,∴PF BC ⊥而: EF PF F ⋂=∴BC ⊥平面PEF ,而BC ⊆平面ABFD ,∴平面PEF ⊥平面ABFD 2.记正方形ABCD 边长为()20a a >则: 2,DC EF AD BC a DE CF a ======, 且由翻折的性质可知: Rt DPF Rt DCF ∆≅∆ ∴()2222,2,25PF CF a PD DC a DF DC FC a a a =====+=+=过P 作PH EF ⊥于H 连接DH ,由1知:平面PEF ⊥平面ABFD ,平面PEF ⋂平面ABFD EF =,∴PH ⊥平面ABFD ,∴PDH ∠即为DP 与平面ABFD 所成的角.记()0FH x x =>,则2EH a x =-,∴()2222222222,2PH PF HF a x DH DE HE a a x =-=-=+=+-,在PHD ∆中,由勾股定理得: 222DH PH PD +=, 即()()2222222a a x a x a +-+-=,解得2a x =∴222232a PH PH HF a x =-=-=∴332sin 24aPH PDH PC a ∠=== 即PD 与平面ABFD 所成的角的正弦值为34解析：19.设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,过F 得直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为()2,0.1.当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程;2.设O 为坐标原点,证明: OMA OMB ∠=∠答案：1.依题意,右焦点()1,0F ,当l 与x 轴垂直时,则点A 的坐标为21,⎛ ⎝⎭, 所以当21,2A ⎛ ⎝⎭时,2220x y +-=,即222y x =- 所以当21,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭时,直线AM 22220x y --,即22y 2.①当直线l 与x 轴垂直时, ,A B 两点分别为2⎛ ⎝⎭和21,⎛ ⎝⎭根据对称性可知,MA MB k k =-所以OMA OMB ∠=∠②当直线l 不与x 垂直时,设直线的方程为()1y k x =-联立方程组()()222222121422012y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩设()()1122,,,A x y B x x ,则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++则()()()()()()()()()1221122121212122212200222222MA MB y x y x k x x k x y y k k x x x x x x -+---+---+=+==------ ()()()12121223422MA MBx x x x k k k x x -+++=⋅-- ()221212224412234402121k k x x x x k k --++=-+=++0MA MB k k += OMA OMB ∠=∠解析：20.某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<,且各件产品是否为不合格品相互独立.1.记20?件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p 。