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定积分的定义

五、88.2(千牛).
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0

将[0,1]n 等分,分点为xi
i ,(i n
1,2,, n )
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi
1 ,(i n
1,2,, n )
取i xi ,(i 1,2,, n)
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,
i 1
i 1
i 1
(1)分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
n
(2)求和 s v( i )ti
i 1
(3)取极限 max{t1,t2 ,,tn }

0
i 1
v(
i
)ti
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界,在[a, b]中任意插入
n
i 1
i n
2
1 n
1 n3
n
i 1
i2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 6
1
1 n
2
1 n
,
0 n
1 x2dx
0
n
lim 0 i1
i 2xi
lim 1 1 1 2 1 1 . n 6 n n 3
例2
利用定义计算定积分
2
1
1dx x
.
解 在[1,2]中插入分点 q, q2 ,, qn1 ,
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
播放
曲边梯形如图所示, 在区间[a,b]内插入若干
个分点,a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ], 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
典型小区间为[qi1 , qi ],(i 1,2,, n)
小区间的长度xi qi qi1 qi1(q 1),
取i qi1,(i 1,2,, n)
n
i 1
f (i )xi
i
n 1
1
i
xi
n i 1
q1i1q
i
1
(q
1)
n
1
(q 1) n(q 1) 取qn 2 即q 2n
压力P (见教材图 5-3).
练习题答案
n
一、1、lim 0 i1
f ( i )xi ;
2、被积函数,积分区间,积分变量;
3、介于曲线 y f ( x), x 轴 ,直线x a , x b 之间
各部分面积的代数和;
4、 b dx . a
二、1 (b3 a 3 ) b a. 3
三、1 (b2 a 2 ). 2
A lim 0 i1
f (i )xi
实例2 (求变速直线运动的路程)
设某物体作直线运动,已知速度v v(t )是 时 间 间 隔[T1 ,T2 ] 上t 的 一 个 连 续 函 数 , 且 v(t) 0,求物体在这段时间内所经过的路程.
思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上 速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便 得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值.
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 , 而 与 _________的记法无关 .
3、定积分的几何意义是_______________________ .
4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
二、利用定积分的定义计算由抛物线y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a) 及横轴所围成的图形的面积 .
五、小结
1.定积分的实质:特殊和式的极限. 2.定积分的思想和方法:
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直(不变)代曲(变)
积零为整
取极限
精确值——定积分
思考题
将和式极限:
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(
n
1) n
表示成定积分.
思考题解答
原式
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
i 1
n
1
f (i )xi n(2n 1),
i 1
1
lim
x
1
x(2x
1)
lim
x
2x 1
1
ln
2,
1
lim n(2n 1) ln 2,
x
n
2 1dx
1x
lim
0
n i 1
1
i
xi
1
lim n(2n 1) ln 2. n
例 3 设函数 f ( x) 在区间[0,1] 上连续,且取正值.
(n
1) n
sin
n n
lim 1 n sin i n n i1 n
1
lim
n
n i 1
sin
i n
n
1
sin xdx.
0
i xi
练习题
一、填空题:
1、函数 f ( x) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限,
即 b f ( x)dx _________________ . a
三、利用定积分的定义计算积分 b xdx ,( a b ) . a
四、利用定积分的几何意义,说明下列等式:
1
1、
1 x2dx ;
0
4
2、
2
cos
xdx
2
2 cos xdx
0
;
2
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力,已知 闸门上水的压强 P 是水深 h 的 函数,且有
p 9.8h(千米 米2 ),若闸门高H 3米 ,宽 L 2米 ,求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
lim ln n
f 1 f 2 f n
en
n n n
lim
e e n
1 n ln n i1
f
i n
lim
n
n
ln
i 1
f
i n
n1
指数上可理解为:ln f ( x)在[0,1] 区间
上的一个积分和. 分割是将[0,1]n 等分
分点为 xi
i ,(i n
1,2,, n)
上任取
一点

i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底,f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,xn } 趋近于零 ( 0) 时,
n
曲边梯形面积为
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
几何意义:
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和. 在 x 轴上方的面积取正号;在 x 轴下方的面 积取负号.
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间,各小区间的长度依次为
xi xi xi1,(i 1,2,),在各小区间上任取
一点i (i xi ),作乘积 f (i )xi (i 1,2,)
n
并作和S f (i )xi ,
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn },如果不论对[a, b]
1
e . 试证 limn f 1 f 2 f n n n n n
ln f ( x )dx
0
证明 利用对数的性质得
lim n f 1 f 2 f n n n n n
eln lim n n
f
1 n
f
2 n
f
n n
极限运算与对数运算换序得
因为 f ( x)在区间[0,1]上连续,且 f ( x) 0 所以ln f ( x)在[0,1]上有意义且可积 ,
n
lim ln
n i1
f
i n
1 n
1
0 ln
f ( x)dx
故 lim n f 1 f 2 f n n n n n
1
e0ln f ( x)dx .

[a,b] 积分区间




达 式

注意:
(1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
而与积分变量的字母无关.
b
a
f
( x)dx
b
a
f
(t )dt
b
a
f
(u)du
(2)定义中区间的分法和i 的取法是任意的.
(3)当函数 f ( x)在区间[a,b]上的定积分存在时,
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
三、存在定理
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时, 称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
定理2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点,则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.
四、定积分的几何意义
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