y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
x
y f (x)的二阶导数f (x)在x的导数称为f (x)在x的三阶
导 数， 记 为y， 或f (x)， 或 d 3 y . dx3
一般地，y f (x)的n 1阶导数f (n1) (x)在x的导数称为f (x)在
§8. 高阶导数与高阶微分
二、高阶微分 Def: y f (x)的微分dy f (x)dx的微分称为f (x)的二阶微分，
记为d 2 y. 一般地，f (x)的n 1阶微分d n1 y的微分称为f (x)的
n阶微分，记为d n y. 二阶及二阶以上的微分统称为高阶微分.
y = f (x) 的各阶微分： dy f (x)dx,
x g(t)，则dx g(t)dt是t的函数.
(3) 求 n 阶微分实质上就是求 n 阶导数.
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§8. 高阶导数与高阶微分
例9： y x2，求d 2 y. 解： 当x是自变量时，dy 2xdx，d 2 y 2dx2.
当x不是自变量时，如设 x t 2，则 （1） y t 4，dy 4t3dt，d 2 y 12t 2dt2. （2） y x2，x t 2，dx 2tdt，d 2 x 2dt2.
例1. n次多项式P(x) a0 xn a1xn1 an.
P(x) na0 xn1 (n 1)a1xn2 an1, P(x) n(n 1)a0 xn2 (n 1)(n 2)a1xn3 an3. P(n) (x) n(n 1)(n 2) 3 2 1a0 n!a0. P(n1) (x) P(n2) (x) 0.
例如： 自由落体运动s 1 gt2,
2
二阶导数的物理意义
v s(t) (1 gt2 ) gt，a v(t) s(t) (s(t)) g. 2
1
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§8. 高阶导数与高阶微分
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为y，或 f (x)，或 d 2 y，即 dx2
2
v x2，v 2x，v 2，v 0.
y (50)
x2
cos(x
50
2
)
C510
2x cos(x
49
2
)
C520
2 cos(x
48
2
)
x2 cosx 100x sin x 2450cosx.
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§8. 高阶导数与高阶微分
例6. y ax ln x，求 y(n). (a 0，a 1).
(u0 v0 1)，k次幂
记忆： (u v)n
k阶导数
(u v)(n)
注2. 法则1，2成立的条件是 u(x) 与v(x) 均存在 n 阶导数.
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§8. 高阶导数与高阶微分
例5. y x2 cos x，求y(50).
解： u cosx，u(n) cos(x n ).
d 2 y d (dy) d ( f (x)dx) d ( f (x))dx f (x)dx2,
d 3 y d (d 2 y) d ( f (x)dx2 ) f (x)dx3.
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§8. 高阶导数与高阶微分
一般地，d n y d (d n1 y) d ( f (n1) (x)dxn1) f (n) (x)dxn ,
注意:
§8. 高阶导数与高阶微分
(1) dxn (dx)n，dxn d (xn )，(dx)n 表示微分的幂，
简记为dxn；d(xn )指幂的微分，即d(xn ) nxn1dx；
而 d nx 是x的n阶微分.
(2) 求高阶微分时，若 x 是自变量，则由于 dx 是不依赖于 x 的任意的数，故关于 x 微分时，必须视 dx为常数因 子.若 x 不是自变量，而是某一变量的函数，如
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dy 2xdx 2t 2 2tdt 4t3dt. d 2 y 2dx2 2xd 2 x 2(2tdt)2 2t 2 2dt2 12t 2dt2.
而 d 2 y 2dx2 2(2tdt)2 8t 2dt2 12t3dt2.
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§8. 高阶导数与高阶微分
dt
(t)(t) (t)(t)
( (t )) 3
.
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§8. 高阶导数与高阶微分
例7.
x
a
cos
t，y
b
sin
t，求
d2y dx2
.
解： dy b ctgt， dx a
d2y dx2
d ( dy) dt dx
dx
( b ctgt) a
(a cost)
b ( csc2 t) a a sin t
即：
dny dxn
f (n) ( x).
对于复合函数，上述公式不成立.
设 y f (x)，x g(t)，则对于y f (g(t))，有
dy f (x)g(t)dt f (x)dx
d 2 y d ( f (x)dx) d ( f (x))dx f (x)d (dx)
f (x)dx2 f (x)d 2 x.
2
y cos x sin(x ) cos(x 2 ),
2
2
y(n) (cosx)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
2
例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2) ( (n 1))(1 x)n.
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
其中
u(0)
u，v(0)
v，Cnk
n(n 1) (n k k!
1)
n! . k!(n k)!
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§8. 高阶导数与高阶微分 注1. 比较二项式展开公式
(u v)n u 0vn Cn1u1vn1 u nv0 ,
b a2
csc3 t.
dt
例8.
设x
y
ey
cos
x，求
dy ，d 2 y dx dx2
.
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§8. 高阶导数与高阶微分
解： 对方程两端关于x求导，有
1 y e y y cos x e y sin x,
()
得
y
dy dx
1 ey 1 ey
sin x cos x
.
重复应用一阶导数的法则. 如：
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§8. 高阶导数与高阶微分
(1) 复合函数y f (u)，u g(x)的二阶导数 :
dy dy du , dx du dx
d2y dx2
d dx
( dy ) dx
d dx
( dy du
du ) dx
d ( dy ) du dy d ( du ) dx du dx du dx dx
x的n阶 导 数 ， 记 为y ( n)， 或
f (n) (x)， 或
d nx，即 dxn
y(n) f (n) (x) lim f (n1) (x x) f (n1) (x) ( f (n1) (x)).
x0
x
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§8. 高阶导数与高阶微分
二 阶 与 二 阶 以 上 的 导 数统 称 为 高 阶 导 数. 根 据 定 义 ， 求n阶 导 数 就 是 反 复 运 用 求一 阶 导 数 的 方 法 ， 逐 阶 进 行n次.
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§8. 高阶导数与高阶微分 高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
d n y (xn ex )(n) dxn Cnk n(n 1) (n k 1)xnkexdxn. k 0 19
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§8. 高阶导数与高阶微分
三、小结
高阶导数的定义及物理意义;
高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);
n阶导数的求法;
1.直接法;
2.间接法.
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n次多项式P(x)的n阶导数是常数n!a0 , 其高于n阶的导数皆为零.
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§8. 高nst).
(e x )(n) e x
y aeax , y a2eax , , y(n) aneax.
例3. y sin x, y cos x.
例10. y xn ex，求d n y.
解： (ex )(n) ex , (xn )(n) n!,
(xn )(k) n(n 1) (n k 1)xnk , (k n).
n
( xn e x )(n) Cnk (e x )(nk ) ( xn )(k ) k 0 n Cnk n(n 1) (n k 1)xnkex. k 0
对()式两端关于x求导，又有
y e y ( y)2 cos x e y ycos x ey ysin x e y ysin x e y cos x.
得
y