f '>0
f '<0
f '>0
-1
1
3
f ''<0
f ''>0
所以我們考慮以下四個區間：
在 ( − ∞ , −1) 中， f (x) 的圖形為遞增凹向下，
在 ( −1 , 1) 中， f (x) 的圖形為遞減凹向下，
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4-4 函數的畫圖
在 (1 , 3) 中， f (x) 的圖形為遞減凹向上，
x→∞
x→−∞
在。
4-44
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第四章 導數的應用(Ⅱ)
例題：【函數圖形描繪】
試描繪函數 f (x) = x3 − 3x + 2 之圖形。
解： f (x) 的定義域為 ( − ∞ , ∞ )
f ′(x) = 3x2 − 3 = 3( x +1)( x −1)
令 f ′(x) = 0 ⇒ x = ±1
3. 決定圖形昇降性。
(1)若 f ′(x) > 0 ，則函數 f (x) 遞增在 f ′(x) > 0 的範圍。
(2)若 f ′(x) < 0 ，則函數 f (x) 遞減在 f ′(x) < 0 的範圍。
4. 決定圖形的凹凸性。
(1)若 f ′′(x) > 0 ，則函數 f (x) 上凹在 f ′′(x) > 0 的範圍。
4
所以 x = ±1為 f (x) = x3 − 3x + 2 的臨界點。
f ′′(x) = 6x ，令 f ′′(x) = 0 ⇒ x = 0
ㄧ階導數判定函數的增減：
當 x < −1時， f ′(x) > 0 ，所以函數 f (x) 在 ( − ∞ , −1 ) 遞增。
當 −1 < x < 1 時， f ′(x) < 0 ，所以函數 f (x) 在 ( − 1 , 1 ) 遞減。
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4-4 函數的畫圖
4-4 函數的畫圖
在先前介紹了函數遞增與遞減以及圖形的凹凸性，為了就是要把函數圖形描
繪的更精確，而這一節就是綜合前面所學的方法，試著把圖形畫出。
y = f (x) 作圖步驟：
1. 決定 f (x) 之定義域。
2. 決定關鍵點。
4
f ′(x) = 0 或 f ′(x) 不存在； f ′′(x) = 0 或 f ′′(x) 不存在的點。
當 x > 1時， f ′(x) > 0 ，所以函數 f (x) 在 ( 1 , ∞ ) 遞增。
二階導數判斷函數的凹凸性：
當 x < 0 時， f ′′(x) < 0 ，所以函數 f (x) 在 ( − ∞ , 0 ) 上的圖形為凹向下。
當 x > 0 時， f ′′(x) > 0 ，所以函數 f (x) 在 ( 0 , ∞ ) 上的圖形為凹向上。
f(x)=
1 3
x3-x2-3x+4
(1,
1 3
)
x
(3,-5)
從此圖形我們可以觀察出：
f (−1) = 17 為相對極大值； f (3) = −5 為相對極小值；( 1 , 1 ) 為反曲點。因
3
3
為 lim f (x) = ∞ 且 lim f (x) = −∞ ，故圖形並無絕對極大值與極小值的存
(2)若 f ′′(x) < 0 ，則函數 f (x) 下凹在 f ′′(x) < 0 的範圍。
Hale Waihona Puke 5. 決定漸近線。(1)若 lim f (x) = L 或 lim f (x) = M ，其中 L、M 為常數，則稱 y = L 和 y = M
x→∞
x→ −∞
為函數 f (x) 的水平漸近線。
(2)若 lim f (x) = ± ∞ 或 lim f (x) = ± ∞ ， a 為常數，則稱 x = a 為函數 f (x)
在 ( 1, ∞ ) 中， f (x) 的圖形為遞增凹向上。
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4-4 函數的畫圖
且 f (−1) = 4 ， f (0) = 2 ， f (1) = 0 。
因為 lim f (x) = ∞ ， lim f (x) = −∞ ，所以無水平漸近線。
x→∞
x→−∞
依照上面函數趨勢可以描繪出函數圖形如下：
f ′(x) = x2 − 2x − 3 = ( x + 1)( x − 3)
4
令 f ′(x) = 0 ⇒ x = −1 , 3 所以 x = −1 , 3 為 f (x) = 1 x3 − x2 − 3x + 4 的臨界點。
3 f ′′(x) = 2x − 2 = 2(x −1) ，令 f ′′(x) = 0 ⇒ x = 1 ㄧ階導數判定函數的增減： 當 x < −1時， f ′(x) > 0 ，所以函數 f (x) 在 ( − ∞ , −1 ) 遞增。 當 −1 < x < 3 時， f ′(x) < 0 ，所以函數 f (x) 在 ( −1 , 3 ) 遞減。 當 x > 3 時， f ′(x) > 0 ，所以函數 f (x) 在 ( 3 , ∞ ) 遞增。 二階導數判斷函數的凹凸性： 當 x < 1時， f ′′(x) < 0 ，所以函數 f (x) 在 ( − ∞ , 1 ) 上的圖形為凹向下。 當 x > 1時， f ′′(x) > 0 ，所以函數 f (x) 在 ( 1 , ∞ ) 上的圖形為凹向上。 綜合上述判別法我們得函數趨勢如下：
綜合上述判別法我們得函數趨勢如下：
f ' >0
f ' <0
f ' >0
_1
0
f '' <0
所以我們考慮以下四個區間：
1
f '' >0
在 ( − ∞ , − 1) 中， f (x) 的圖形為遞增凹向下，
在 ( −1 , 0) 中， f (x) 的圖形為遞減凹向下，
在 (0 , 1) 中， f (x) 的圖形為遞減凹向上，
在 ( 3 , ∞ ) 中， f (x) 的圖形為遞增凹向上。
且 f (−1) = 17 ， f (3) = −5 ， f (1) = 1 。
3
3
因為 lim f (x) = ∞ ， lim f (x) = −∞ ，所以無水平漸近線。
x→∞
x→−∞
依照上面函數趨勢可以描繪出函數圖形如下：
4
y
(-1, 137)
x→ a+
x→ a−
的垂直漸近線。
6. 描繪出圖形並討論其反曲點與極值。
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第四章 導數的應用(Ⅱ)
接著我們用幾個範例來介紹圖形的畫法。
例題：【函數圖形描繪】 試描繪函數 f (x) = 1 x3 − x2 − 3x + 4 之圖形。
3 解： f (x) 的定義域為 ( − ∞ , ∞ )