x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
T
D
应变矢量
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
T
材料刚度矩阵D
1 E D (1 )(1 2 ) 0 0 0
ij ij ( kl )
A i i
由虚功方程，得
T u dA
V
Fi ui dV ij ij dV
V
16
超弹性模型
外功以应变能形式贮藏在物体中，即 V WdV V ij ij dV 单位体积应变能增量
W ij ij
W W ij ij
29
A-3 实体模型概述 直接输入几何实体来建模很方便,但有些情况下需 要在ANSYS中来建立实体模型。例如:
需要建立参数模型时，— 在优化设计及参数敏感性分 析时建立的包含变量的模型。 没有ANSYS能够读入的几何实体模型时。 计算机上没有相关的绘图软件时（与ANSYS程序兼容 的）。 在对输入的几何实体需要修改或增加时，或者对几何 实体进行组合时。
应力张量增量可分解为应力球张量增量和应力偏张量增量两部分
ij Sij 8ij
八面体正应变增量可表示为
ij Sij 3Kt8ij
8 kk kl kl
1 3 1 3
8 Kt kl kl
Sij 2(eij dGs 8 Gs eij ) d 8
18
次弹性模型
次弹性模型( Hypoelastic models)用来描述 应力状态不仅与应变状态有关，还与达到 该状态的应力路径有关。其本构方程的一 般表达式为
ij Fij ( kl , mn )
对各向同性材料，上式可以表示成下述形式
19
次弹性模型
20
次弹性模型
21
次弹性模型
22
D
E 2 (1 HH )(1 HH 2nVH )
2 n( HH nVH ) nVH (1 VH ) 0 2 n(1 nVH )
2 (1 HH 2nVH )
横观各向同 性体的材料 刚度矩阵为
n(1 n 2 ) VH 2 n( HH nVH ) nVH (1 HH ) 0 0 0
Sij 2Gs eij
Ks-割线体积变形模量 Gs-割线剪切变形模量
12
Cauchy弹性模型
m K s kk
Sij 2Gs eij
ij 2Gs eij Ks kkij
ij 2Gsij (3Ks 2Gs )8ij
4
3.2 线性弹性模型
5
线性弹性模型
线性弹性模型是最简单的力学本构方程，其一般表达式为
材料刚度张量 或模量张量
ij Dijkl kl
各向同性 弹性体
ij 2 ij kk ij
四阶张量Dijkl 一般有 81 个元素; 均质连续各向异性弹性体，Dijkl 有 21个元素是独立的； 对三向正交各向异性弹性体， Dijkl中 9 个元素就可确定 ； 横观各向同性体是三向正交各向 异性体的特殊情况，Dijkl需要 5 个 独立参数即可确定； 对各向同性弹性体，Dijkl只有两 个独立的参数。
采用割线模量表示增量形式的应力-应变关系推导过程如下
K s K s ( 8 ) Gs Gs ( 8 )
8 Gs 8 8 3K s 8
8 (Gs 8
dGs ) 8 d 8 dK s 8 3( K s 8 ) 8 d8
1 ers ( rk sl rs kl ) kl 3

Gt Gs r82
应变偏量增量可用下式表示
ekk 0
G Sij 2(Gs ik jl s ij kl eij ekl )ers 3
可得增量形式的应力应变关系
ij 2 ( t s ) ij kl Gs ik jl eij ekl ) kl 2 2
工程材料本构关系
第3章 弹性模型
主要内容
3.1 概 述
3.2 线性弹性模型
3.3 非线性弹性模型理论 3.4 土的非线性弹性模型举例 3.5 混凝土的非线性模型举例 3.6 破坏准则
2
3.1 概 述
3
弹性模型包括:线性弹性模型和非线性弹性模型二大类; 非线性弹性模型理论上又可分为 Cauchy 弹性模型、 超弹性模型和次弹性模型三种; 弹性模型要求材料在加载和卸载时的应力-应变曲线是 完全相同的，然而符合这一性状的工程材料很少; 为了采用弹性模型来描述，常常将加载和卸载两种情 况加以区别，在加载和卸载时采用不同的弹性模量; 弹性模型有破坏准则，弹塑性模型中有屈服准则，不 少材料的屈服准则同破坏准则具有相同的形式。
ANSYS 有一组很方便的几何作图工具。本章将讨 论这些作图工具。
30
A-3 实体模型概述
实体建模 可以定义为建立实体模型的过程。 基本定义： 一个实体模型由体、面、线及关键点组 成。体由面围成，面由线组成，线由关 键点组成。 实体的层次从低到高: 关键点 线 面体。如果高一级的实体存在，则低 一级的与之依附的实体不能删除。 另外，一个只由面及面以下层次组成的实体， 如壳或二维平面模型，在ANSYS中仍称为 实体。
Meshing 几何实体模型 有限元模型 28
A-2 四种创建模型的方法
四种途径创建ANSYS模型（包括几何实体模型和有限元模 型）的方法
Option A B 1. Build solid model. 2. Defeature as needed. 3. Export solid model. CAD Package ANSYS 1. Build solid model. 2. Mesh finite element model. 1. Import solid model 2. Complete or modify as needed. 3. Mesh finite element model.
15
K
G

超弹性模型
超弹性模型( HyPerelastic models)又称 Green超弹性模型。它通过材料的应变能函 数或余能函数来建立材料的本构方程。
考虑-体积为V，表面积为 A 的物体。物体上作用有体力 Fi和表面上作用有外力Ti，物体中产生的应力为 ij，相应的 位移和应变分别为uij 和 ij 。对弹性材料，应力可由应变唯 一确定，即
应变能函数 W 仅是应变的函数
W ij ij
17
超弹性模型
如果给平衡物体作用一体力和表面力增量 F 和 相应的应力增量为
i
ij
Ti
，
T u dA Fu dV
A i i V i i v
ij ij
dV
ij ij
单位体积的余能
0 1 0 1
0 0 0 0 0 0

0
0 0 0 0 1 2 2 0
1 2 2 0 0
0 0 0 0 1 2 2 0
4 2 2 K 3 G K 3 G K 3 G 0 0 0 K 2 G K 4 G K 2 G 0 0 0 3 3 3 0 0 0 D K 2 G K 2 G K 4 G 3 3 3 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G
10
Cauchy弹性模型
Cauchy 弹性模型一般表达式为
ij Fij ( kl )
上式表明应力是应变的函数，应力-应变关系是可逆的，与应力路径无关
11
Cauchy弹性模型
材料八面体正应力与八面体应变和八面体剪应力与八面体剪应 变关系曲线如图 :
材料的本构方程
m K s kk
体
面
线及关键点
体 面 线 关键点
31
A-3 实体模型概述
建立实体模型可以通过两个途径:
独立的弹性系数只有两个，各弹性系数之间的关系式为：
K E 3(1 2 )
9 KG 3K G
g
E 2(1 )

2( )
G
E
2 K 3
E
(2 3 )

3K 2G 2(3K G)
7
无限小的材料单元应力应变关系
应力矢量
14
Cauchy弹性模型
dK s d8 dGs Gt Gs 8 d 8 Kt K s 8
dGs Gt Gs d 8 8
4 3
微分关系式
82 ers ers
Sij 2(Gs ir js
4 Gs Gt eij ers )ers 3 82
次弹性模型
23
3.4 土的非线性弹性模型举例
24
3.5 混凝土的非线性模型举例
25Biblioteka 3.6 破坏准则26
27
A-1 区分实体模型与有限元模型
现今几乎所有的有限元分析模型都用实体模型建模。类似 于CAD ， ANSYS 以数学的方式表达结构的几何形状 ( 实体 模型)，用于在里面填充节点和单元，还可以在几何模型边 界上方便地施加载荷. 但是，几何实体模型并不参与有限 元分析. 所有施加在几何实体边界上的载荷或约束必须最 终传递到有限元模型上（节点或单元上）进行求解. 由几何模型创建有限元模型的过程叫网格划分（Meshing).
13
Cauchy弹性模型
dG 8 (Gs 8 s ) 8 d 8 dK s 8 3( K s 8 ) 8 d8