四、统计
数据的集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中的程度。
而用于描述数据这种集中趋势程度的统计量称为集中量数。
包括算术平均数、中数、众数、加权平均数、几何平均数、调和平均数等。
在这里重点介绍其中三种常用的集中量数：算术平均数、中数和众数。
虽然三种集中量数都用于表示数据的集中程度，但由于计算方法的不同，每种方法都有它的优点、缺点及适用范围。
因此有时它们会表现出较大的差异。
众数
1、计算方法：
众数（mode），通常用符号M0表示，是指在频数分布中出现次数最多的那个数值。
在所有的集中量数中，众数是最容易计算的，因为它通过直接观察就可以得到。
对所有类别的测量数据都可以计算，不过通常对称名变量和顺序变量计算众数比较有意义，特别是称名变量。
如要求回答你所处班级性别的集中程度。
而男生较多，你的回答是“男生”。
如果用数值1代表男生，2代表女生，那么众数就是1。
如果问你在学校里哪个科目最受欢迎，还是用众数。
有时候众数可能不是唯一的，在多众数分布中不一定都需要完全一样的次数，只要它们跟其余数据相比足够突出。
1、众数的优缺点与应用
众数的概念简单，容易理解，但它容易受样本变动的影响，因而
不够稳定；计算时不需要每一个数据都加入，较少受极端数据的影响，因而不够灵敏；用观察法得到的众数，不是经过严格计算而来，因而不够严谨；众数不能作进一步代数运算。
由此可见，众数不是一个优良的集中量数，应用也不广泛。
但是在下述情况中，则会经常应用众数：
（1）当需要快速而粗略地求一组数据的代表数值时，众数是一个较好的选择；
（2）当一组数据出现不同质的情况时，可以用众数表示典型情况，如工资收入、学生成绩等常以频数最多者为代表值；
（3）当频数分布表两极端数据时，除了一般用中数外，有时也用众数。
中数：
1、计算方法：
中数（median），也称为中位数，通常用符号M d表示，是指在频数分布中位于中间位置的那个数值，它把数据划分成两半，一半的数据比它大，一半的数据比它小。
中位数可能是数据中的某一个，也可能根本不是原有的数，根据数据的不同情况，有不同的计算方法。
（1）一组数据中无重复数值的情况：
先排序。
若数据有奇数个，就是中间的那个数；若数据的个数为偶数，则中位数是居于中间位置两个数的平均数。
（2）一组数据中有重复数值的情况：
先计算中位数的位置，再找出中位数。
2、中位数的优缺点与应用：
中位数直观地反映了样本数据分布的中心位置，其计算简单，容易理解，且不易受极端数据的影响，这是它的优点。
不足之处是中位数是根据数据的相对位置来确定的，在计算时不是每个数据都加入计算，从而有较大的误差，不如平均数稳定；极端数据的变化不对其产生影响，反应不够灵敏；中位数不能做进一步代数运算。
但是在下述情况中，则会经常应用中位数：
（1）当一组数据中出现极端数据时，常用到中位数；
（2）当频数分布的两端数据或个别数据不清楚时，只能用中位数作为集中趋势的代表值；
（3）当需要快速估计一组数据的代表值时，也常用中位数。
算术平均数
也称为平均数，是某变量所有数值的总和除以总次数所得的商，通常用M表示。
1、计算方法：
就是把所有的数据相加，再用数据的个数去除数据总和。
如期末考试后，随机抽取了10名学生，成绩如下，求其平均成绩：89 , 76, 87, 78, 79, 89, 90, 83, 91, 88
（89+76+87+78+79+89+90+83+91+88）÷10=850÷10=85 当数据的值都很大时，可以利用估计平均数来简化计算，具体方法是：先设定一个估计平均数，用符号AM表示，从每一个数据中减去AM，是数值变小；然后计算变小后数据的平均数；最后在计算结
果中加上这个估计平均数即可。
如上述问题计算如下：
①设定估计平均数：AM=84
②从每一个数据中都减去84，
89 , 76, 87, 78, 79, 89, 90, 83, 91, 88
5 -8 3 -
6 -5 5 6 -1
7 4 它们的平均数是1
③求出平均数： 84+1=85
2、平均数的性质及意义：
平均数在科学中是使用最多的统计量之一，算术平均数是最灵敏、最严密、最可靠，也是最简明易懂的一种集中量数，它与其他集中量数相比，抽样误差最小，因此在计算方差、标准差、相关系数及进行统计推断时，都要用到它。
（下面我没有想好还要不要介绍，而且怎么应用我也没有完全清楚。
问了一位大学教师，他是这样解释正态分布和偏态分布的：某试卷，通过看学生成绩，可以知道这次的考题是偏难、偏易。
合适的难度，基本是正态分布，太难——负偏态，太容易——正偏态。
主要看考卷想达到的目的：摸底测试，希望大多数学生掌握，正偏态；淘汰考试，大多数不要过，负偏态。
）
平均数的性质：在一组数据中，每个数值与平均数之差（称为离均差）的总和等于0.这是平均数最重要的一个特性。
平均数就好像
频数分布中的一个平衡点，在它两边的数据与它的距离之和是相等的。
3、平均数与中位数、众数的关系
（1）在一个正态分布中，平均数、中位数和众数三者相等，因此在数轴上三个集中量数完全重合。
（2）在偏态分布中，三者不重合，一般会有：正偏态分布和负偏态分布。