南昌市2021届高三摸底测试卷理科数学一、选择题：1．已知i 为虚数单位，则31i +=（）A ．2B ．1C ．0D2．命题：“0x ∀≥，都有sin x x ≤”的否定为（）A ．0x ∃<，使得sin x x >B ．0x ∃≥，使得sin x x >C ．0x ∀≥，都有sin x x>D ．0x ∀<，都有sin x x≤3．爱美之心，人皆有之．健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示．对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的．．．．是（）A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人数增加了4个B ．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变C ．因为体重在[)100,110内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D ．他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少4．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，满足3235a a =，10100S =，则1a =（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知x ，y 满足约束条件2230x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，z y x =-，则max min z z -=（）A ．0B ．1C ．2D ．46．若双曲线221y x m-=的离心率()1,3e ∈，则m 的取值范围为（）A ．()0,8B ．()0,4C ．()1,9D ．()8,+∞7．如图，图中小正方形的边长为1，粗线是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．24π+B ．22π+C ．4π+D ．612π+8．设0.62a =，0.43b =，3log 10c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a <<B ．c a b<<C ．b a c<<D ．a b c<<9．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若223f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．2ω=，6πϕ=B ．53ω=，518πϕ=C ．2ω=，3πϕ=D ．53ω=，6πϕ=10．若函数()22cos 38f x x a x a a =-++-有唯一零点，则a =（）A ．2-B ．2或4-C ．4-D ．211．已知直线l 与圆C ：22240x y x y +--=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若锐角ABC △的面积为125，则sin AOB ∠=（）A ．1225B ．35C ．34D ．4512．已知曲线1C ：x my e +=，2C ：2y x =，若恰好存在两条直线直线1l 、2l 与1C 、2C 都相切，则实数m的取值范围是（）A ．()2ln 22,-+∞B ．()2ln 2,+∞C ．(),2ln 22-∞-D ．(),2ln 2-∞二．填空题：13．()62x y -展开式中33x y 的系数为__________．14．已知向量OA AB ⊥ ，2OA = ，则OA OB ⋅=_________．15．无穷数列{}n a 满足：只要()*,p q a a p q N=∈，必有11p q aa ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则2021S =_________．16．集合{}26A x x m =≤≤-，{}121B x m x m =-≤≤+，若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围_________．三．解答题：（一）必考题：17．已知ABC △中，AB =，D 是边BC 上一点，AD =3ADC π∠=，512DAC π∠=．（1）求AC 的长；（2）求ABD △的面积．18．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，对角面11AAC C 是矩形，且平面11AAC C ⊥平面ABCD ．（1）证明：四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱；（2）设AC BD O ⋂=，若1AB AA =，求二面角1D OB C --的余弦值．19．某机构要对某职业的月收入水平做一个调研，选择了A ，B ，C 三个城市，三个城市从业人数分别为10万，20万，20万，该机构决定用分层抽样的方法从三个城市中抽取1000个样本进行调查，并分析A 、B 城市的样本数据后得到以下频率分布直方图：（1）A ，B ，C 三个城市应各抽取多少个样本？并估计A 城市从业人员月收入的平均值；（2）用频率估计概率，A ，B 城市从业人数视为无限大，若从A ，B 两城市从业人员中各随机抽取2人，X 表示这抽取的4人中月收入在3000元以上的人数，求X 的分布列和期望．（用分数作答）20．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，其离心率为32，以1F 为圆心以1为半径的圆与以2F 为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆上顶点A 斜率为k 的直线l 与椭圆的另外一个交点为B ，若2ABF △的面积为l 的方程．21．已知函数()2132ln 2f x x x x =-+．（1）判断()f x 零点个数，说明理由；（2）是否存在整数k ，使得直线52y kx =-与函数()f x 的图像有三个交点？若存在，求出k 的所有可能取值；若不存在，说明理由．（参考数据ln 20.69≈）（二）选考题：22．选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos cos2x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为5x ty =⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）设P ，Q 分别是直线l 和曲线C 上的动点，求PQ 的最小值．23．选修4-5：不等式选讲已知()211f x x x =++-．（1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）若()f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围．2021届高三摸底测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：题号123456789101112答案DBCACAADCDBC二、填空题：13．160-14．415．757616．17,22⎡⎤⎢⎣⎦三．解答题：17．【解析】（1）由已知4ACD π∠=，则ADC △中，23sin sin 3222AC AD AC AC ADC ACD =⇒=⇒=∠∠；（2）ABD △中，3AB =2AD =23ADB ADC ππ∠=-∠=，则22223222cos3BD BD π=+-⨯，解得622BD -=，故ABD △的面积为12162333sin 2232224BD AD π--⨯⨯⨯=⨯=．18．【解析】（1）如图，平面11AAC C ⊥平面ABCD ，且平面11AAC C ⋂平面ABCD AC =．因对角面11AAC C 是矩形，所以1AA AC ⊥，由面面垂直的性质定理得平面1AA ⊥平面ABCD ，故四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱．（2）由四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥．设11111AC B D O ⋂=，1O O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，1OO 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．不妨设2AB t =，因为60CBA ∠=︒，所以3OB t =，OC t =，又1AB AA =，于是)13,0,2B t t ，()10,,2C t t ．易知，()10,1,0n =是平面11BDD B 的一个法向量．设()2,,n x y z = 是平面11OB C 的一个法向量，则21210,0,n OB n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即32020z y z +=+=⎪⎩取3z =2x =，23y =，所以(22,23,3n =．设二面角11D OB C --的平面角为θ，易知θ是锐角，于是121212257cos cos ,19n n n n n n θ⋅=〈〉==⋅．故二面角11C OB D --的余弦值为25719．19．【解析】（1）由题，A ，B ，C 三个城市人数比为10:20:201:2:2=，所以A 城市应抽取200人，B 城市应抽取400人，C 城市应抽取400人，因为150.25250.35350.2450.15550.0529⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=百元，所以A 城市月收入平均值约为2900元；（2）X 可能取值有0，1，2，3，4，从A 城从业人员中随机抽取一人，月收入在3000元以上的概率为25，从B 城从业人员中随机抽取一人，月收入在3000元以上的概率为35，所以：()223236055625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2211222323231561555555625P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2222112222332323241255555555625P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2211222332231563555555625P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222336455625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以随机变量X 的分布列为：X 01234P3662515662524162515662536625所以随机变量X 的数学期望3615624115636012342625625625625625EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或者2322255EX =⨯+⨯=）20．【解析】（1）设椭圆方程为22221x y a b+=（0a b >>），由两圆交点在椭圆上，2134a =+=，得2a =，由离心率为2，22234a b a -=，得1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）因为点A 的坐标为()0,1，所以直线l 的方程为1y kx =+，代入椭圆方程得到：()()2221141804x kx k x kx ++=⇒++=，因为0A x =，所以2841B k x k =-+，221441B k y k -=+，又因为直线l 与x 轴的交点坐标为1,0k ⎛⎫-⎪⎝⎭，点2F 的坐标为)，所以22111412414k k k ⎛⎫-+⨯-= ⎪+⎝⎭，解得2k =或6k =，所以，直线l 的方程为12y x =+或16y x =+．21．【解析】（1）()()()1223x x f x x x x='--=-+，所以x ()0,11()1,22()2,+∞()f x '+-+()f x52-2ln 24-因为()62ln 60f =>，所以()f x 在定义域()0,+∞上有且仅有一个零点；（2）由方程()52f x kx =-，可以得到：()2152ln 322x x k x ++=+，即12ln 5322x x k x x ++=+，记()12ln 522x g x x x x=++，()2222122ln 54ln 1222x x x g x x x x---'=+-=，记()24ln 1h x x x =--，()()22242x h x x x x-'=-=，所以()h x 在(单调递减，在)+∞上单调递增，又()10h =，()10hh <<，()234ln 20h =->，所以存在)0x ∈使得()00h x =，且()0,1x ∈时()0h x >，()0g x '>，()01,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，所以()g x 的极大值()13g =，()g x 的极小值()20000000000012ln 5115222222x x g x x x x x x x x x -=++=++=+，02x <<，所以()03g x <<，所以()01330g x -<<-<，由题意两图象三个交点，所以()()003330g x k g x k <+<⇒-<<，因此10k -<<，所以不存在整数k 满足条件．22．【解析】（1）因为2cos22cos 1y θθ==-，所以C ：()22111y x x =--≤≤，直线l：55x ty y =⎧⎪⇒=-⎨+=⎪⎩；（2）作直线l '：y b =+与曲线C 相切，则PQ 最小值为l 与l '的距离．将l '与C 的方程联立，消去y可得：()2210x b --+=，则()88102b b ∆=++=⇒=-，故l '：2y =-，从而l 与l '的距离为1=，即PQ 的最小值为1（当且仅当切点Q 的横坐标为2时取到最小值）．23．【解析】（1）由已()2112f x x x =++-≥，①当12x ≤-时，12232112x x x x ⎧≤-⎪⇒≤-⎨⎪---+≥⎩；②当112x -<<时，110122112x x x x ⎧-<<⎪⇒≤<⎨⎪+-+≥⎩；③当1x ≥时，112112x x x x ≥⎧⇒≥⎨++-≥⎩；综上所述，()2f x ≥的解集为[)2,0,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦；（2）由题意知211x x a x ++-≥恒成立，①当0x =时，20a ≥⋅恒成立，得a R ∈；②当0x ≠时，2111121x x a x x x++-=++-≥恒成立，知111121213x x x x++-≥++-=，得3a ≤；综上所述，符合条件的实数a 的范围是(],3-∞．。