数值分析课程设计题目与要求
（10级应数及创新班）
[设计题一]
编写顺序Gauss消去法和列主元Gauss消去法的函数，再分别调用这两个函数求解下面的84阶方程组：
= ，
然后考虑将方程组的阶数取为10至100之间多个值进行求解。
将你的计算结果与方程组的精确解进行比较。
从“快”、“准”、“省”三个方面分析以上两个算法，试提出改进的算法并加以实现和验证。
[设计题二]
编写平方根法和改进的平方根法（参见教材《计算方法》P54的例题2.5）的函数，然后分别调用这两个函数求解对称正定方程组Ax=b，其中A和b分别为：
（1）系数矩阵A为矩阵（阶数取为10至100之间多个值）:
，
向量b随机地选取；
（2）系数矩阵A为Hilbert矩阵（阶数取为5至40之间多个值），即A的第i行第j列元素，向量b的第i个分量取为。
将你的计算结果与方程组的精确解进
行比较。
若出现问题，分析其原因，提出改进的设想并尝试实现之。
对于迭代法 ,......)2,1,0(99.021=-=+k x x x k k k ， 它显然有不动点0*
=x 。
试设计2个数值实验
得到收敛阶数的大概数值（不利用判定收敛阶的判据定理）：
（1） 直接用收敛阶的定义； （2） 用最小二乘拟合的方法。
[设计题四]
湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越往下温度变低。
这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。
如果把水温T 看成深度x 的函数T(x),有某个湖的观测数据如下：
环境工程师希望：
1） 用三次样条插值求出T(x)。
2） 求在什么深度处dx
dT
的绝对值达到最大（ 即02
2=dx T d ）。
[设计题五]
某飞机头部的光滑外形曲线的型值点坐标由下表给出:
．．．值y 及一阶、二阶导数值y ’，y ”。
绘出模拟曲线的图形。
给定初值问题
其精确解为，分别按下列方案求它在节点
处的数值解及误差。
比较各方法的优缺点，并将计算结果与精确解做比较（列表、画图）。
（方案I）欧拉法，步长h = 0.025, h = 0.1；
（方案II）改进的欧拉法，步长h = 0.05, h = 0.1；
（方案III）四阶经典龙格—库塔法，步长h = 0.1。
[设计题七]
生态环境学家在研究自然界中两个生物种群数目变化时得到一组常微分方程。
x(t)，后者在假设有两种生物（例如一种是蓝鲸，另一种是南极磷虾），前者在时刻t时的数量为
1
时刻t 时的数目为2x (t )，并假设它们都是t 的连续可微函数。
蓝鲸是以磷虾为主要食物的。
当没有食物来源时蓝鲸数目会减少，其减少速度与当时蓝鲸的数目成线性关系，即
)(11
t cx dt
dx -= . （1） 当有食物来源时，蓝鲸的数目会增加。
增加的速度和它捕食的数目有关，即
dt
dx 1
= d 1x (t ) 2x (t ) . （2） 合并（1）和（2），得到蓝鲸变化速度满足的微分方程
+-=)(11
t cx dt
dx d 1x (t ) 2x (t ). (3) 同样，在没有蓝鲸时，磷虾的增加速度满足
dt
dx 2
=2ax (t ). (4) 考虑到被捕食情况，则磷虾的数目满足
dt
dx 2
=2ax (t )－b 1x (t ) 2x (t ). (5) 合并（3）和（5），得到著名的Lotka-Volterra 方程
1
112
2212
dx cx dx x dt dx ax bx x
dt
⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩ （6） 其中d c b a ,,,均为正常数。
（6）是一个非线性常微分方程组，不可能有解析解。
假设,3.0,8.0,6.0,2.1====d c b a 而且初始值为1x (0)=2, 2x (0)=1.
1） 分别用欧拉法、改进的欧拉法和四阶经典龙格—库塔法，取多种步长求解（6）。
把1x (t ) 和2x (t )
画在同一张图上，并给予解释。
2） 把（6）的两个方程相除，得到
2
112
1212x dx cx x bx ax dx dx +--= （7） 尝试用数值方法求出2x ~1x 之间的函数关系。
并把它画在以1x ,2x 为坐标的图上，对所得结果加以解释。
[要求]
一、设计题必须用Matlab 完成；设计题一、二、三必做；设计题四、五选做一题，设计题六、七选做
一题（也可全做）。
二、须提交纸质课程设计报告，基本内容包括（可进一步发挥）：
1）设计思路、算法步骤（或流程图）；
2）程序清单（函数文件、命令文件）（加上必要的注释）；
3）程序运行操作过程与输出结果（必须附上相应的截屏图，图中须有任务栏和命令历史窗口中的日期、时间）；
4）对计算过程与结果的分析（如误差分析，收敛性，稳定性，计算量，存储量，方法比较等）；各设计的优缺点（如特色、自己最满意之处、需改进的地方等）；
5）自己在课程设计中的心得体会（须含程序调试过程中遇到的问题与困难及解决办法）以及对本课程的认识；
6）课程设计自我评价（优、良、中、及格、差之一）及其支持依据。
其中2）、3）两部分必须打印，其余部分打印、手写皆可。
须加封面，格式：题目（即“数值分析课程设计报告”）；学生班级；姓名；学号；完成日期。
三、请将全班同学的电子版设计报告和相关的M文件刻录在一张光盘上上交。
严禁抄袭！若发现雷同，不区分抄与被抄，一并处理，成绩不及格或要求重做。
敢于说“不！”，以免害人又害己。
判断抄袭的参考标准：出现下列情形之一
（1）无截屏图；
（2）截屏图与他人相同；
（3）需编写的M文件（含注释）与他人完全相同；
（4）设计题一、二中方程组的阶数取得与他人完全相同；
（5）无“课程设计中的心得体会”或过于简短；
（6）“课程设计中的心得体会”不含“遇到的问题与困难及解决办法”；
（7）“课程设计中的心得体会”与他人相同。
必要时，进行面试和当场上机操作。
课程设计提交时间：
按要求完成后，统一交给课代表（或学习委员、班长），于下学期开学报到日（8月31日）或之前（下学期第一周便要评优，须完成成绩的评定）交至任课教师处，包括光盘和纸质的课程设计报告。
过期不交作为缺考处理。
附上机安排：
时间：第17周星期三、四下午2：30－5：00
第18周星期三下午2：30－5：00
地点：数学系机房。