高中数学必修1练习题集第一章、集合与函数概念 集合的含义与表示 例1. 用符号∈和∉填空。

⑴ 设集合A 是正整数的集合，则0_______A ，2________A ，()01- ______A ； ⑵ 设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23______B ，1+2______B ；⑶ 设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A ，美国_____A ，印度_____A ，英国____A例 2. 判断下列说法是否正确，并说明理由。

⑴ 某个单位里的年轻人组成一个集合；⑵ 1，23，46，21-，21这些数组成的集合有五个元素； ⑶ 由a ，b ，c 组成的集合与b ，a ，c 组成的集合是同一个集合。

例3. 用列举法表示下列集合：⑴ 小于10的所有自然数组成的集合A ；⑵ 方程x 2= x 的所有实根组成的集合B ；⑶ 由1～20中的所有质数组成的集合C 。

例4. 用列举法和描述法表示方程组⎩⎨⎧-=-=+11y x y x 的解集。

典型例题精析题型一 集合中元素的确定性例 1. 下列各组对象：① 接近于0的数的全体；② 比较小的正整数全体；③ 平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④ 正三角形的全体；⑤ 2的近似值得全体，其中能构成集合的组数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5题型二 集合中元素的互异性与无序性例 2. 已知x 2∈{1，0，x }，求实数x 的值。

题型三 元素与集合的关系问题1. 判断某个元素是否在集合内例3．设集合A={x ∣x =2k , k ∈Z}，B={x ∣x =2k + 1, k ∈Z}。

若a ∈A ，b ∈B ，试判断a + b 与A ，B 的关系。

2. 求集合中的元素例4. 数集A 满足条件，若a ∈A ，则aa -+11∈A ，（a ≠ 1），若31∈A ，求集合中的其他元素。

3. 利用元素个数求参数取值问题例5. 已知集合A={ x ∣ax 2+ 2x + 1=0, a ∈R }，⑴ 若A 中只有一个元素，求a 的取值。

⑵ 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。

题型四 列举法表示集合例6. 用列举法表示下列集合⑴ A={x ∣x ≤2，x ∈Z}；⑵ B={ x ∣()21-x ()2-x = 0} ⑶ M={()y x , x+ y= 4，x ∈N *，y ∈N *}.题型五 描述法表示集合例7. ⑴ 已知集合M={ x ∈N ∣x +16∈Z}，求M ； ⑵ 已知集合C={x+16∈Z ∣x ∈N}，求C.例8. 用描述发表示图（图-8）中阴影部分（含边界）的点的坐标的集合。

例9. 已知集合A={a + 2，(a + 1)2，a2+ 3a + 3}，若1∈A，求实数a的值。

例10. 集合M的元素为自然数，且满足：如果x∈M，则8 - x∈M，试回答下列问题：⑴写出只有一个元素的集合M；⑵写出元素个数为2的所有集合M；⑶满足题设条件的集合M共有多少个？创新、拓展、实践1、实际应用题例11. 一个笔记本的价格是2元，一本教辅书的价格是5元，小明拿9元钱到商店，如果他可以把钱花光，也可以只买一种商品，请你将小明购买商品的所有情况一一列举出来，并用集合表示。

2、信息迁移题例12. 已知A={1，2，3}，B={2，4}，定义集合A、B间的运算A＊B={x∣x∈A且x∉B}，则集合A＊B等于（）A. {1，2，3}B. {2，4}C. {1，3}D. {2}3、开放探究题例13. 非空集合G 关于运算⊕满足：⑴ 对任意a 、b ∈G ，都有a ⊕b ∈G ；⑵ 存在e ∈G ，使得对一切a ∈G ，都有a ⊕e = e ⊕a = a ，则称G 关于运算⊕为“融洽集”。

现给出下列集合与运算：① G={非负整数}，⊕为整数的加法。

② G={偶数}，⊕为整数的乘法。

③ G={二次三项式}，⊕为多项式的加法。

其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是__________。

（写出所有“融洽集”的序号） 例14. 已知集合A={0，1，2，3，a}，当x ∈A 时，若x - 1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立”元素，现已知A 中有一个“孤立”元素，是写出符合题意的a 值_______(若有多个a 值，则只写出其中的一个即可)。

例15. 数集A 满足条件；若a ∈A ，则a-11∈A （a ≠1）。

⑴ 若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；⑵ 自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；⑶ 从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”。

高考中出现的题例1. （2008·江西高考）定义集合运算：A ＊B={z ∣z = xy ，x ∈A ，y ∈B}。

设A={1，2}，B={0，2}，则集合A ＊B 的所有元素之和为（ ）A. 0B. 2C. 3D. 6例2. （2007·北京模拟）已知集合A={a 1，a 2，…，a k }(k ≥2)，其中a i ∈Z (i =1，2，…，k )，由A 中的元素构成两个相应的集合：S={（a ，b ）∣a ∈A ，b ∈A ，a + b ∈A}；T={(a ，b)∣a ∈A ，b ∈A ，a - b ∈A }，其中（a ，b ）是有序数对。

若对于任意的a ∈A ，总有- aA ∉A ，则称集合A 具有性质P 。

试检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T 。

集合间的基本关系例1 用Venn 图表示下列集合之间的关系：A={x ∣x 是平行四边形}，B={ x ∣x 是菱形}，C={ x ∣x 是矩形}，D={ x ∣x 是正方形}。

例2 设集合A={1，3，a}，B={1，a 2- a + 1}，且A ⊇B ，求a 的值例3 已知集合A={x ，xy ，x - y}，集合B={0，x ，y}，若A=B ，求实数x ，y 的值。

例4 写出集合{a 、b 、c}的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集。

例5 判断下列关系是否正确：（1）0∈{0}；（2）∈∅{0}；（3）=∅{0}；（4）题型一 判断集合间的关系问题例1 下列各式中，正确的个数是（ ）(1) {0}∈{0，1，2}；（2）{0，1，2}⊆{2，1，0}；（3）⊆∅{0，1，2}；（4）=∅{0}；（5）{0，1}={（0，1）}；（6）0={0}。

A. 1B. 2C. 3D. 4题型二确定集合的个数问题例2 已知{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，则这样的集合M有__________个。

题型三利用集合间的关系求字母参数问题例3 已知集合A={x︱1＜ax＜2}，B={x∣x＜1},求满足A⊆B的实数a的范围。

例4 设集合A={x∣x2+ 4x=0，x∈R}，B={x∣x2+ 2(a + 1)x + a2- 1=0，x∈R }，若B⊆A，求实数a的值。

一、数形结合思想：1. 用Venn图解题例5 设集合A={x︱x是菱形}，B={x︱x是平行四边形}，C={x︱x是正方形}，指出A、B、C之间的关系。

例6 （2. 用数轴解题）已知A={x︱x＜-1或x＞5}，B={x∈R︱a＜x＜a + 4}，若A⊇B，求实数a的取值范围。

二、分类讨论思想例7 已知集合A={a，a + b，a + 2b}，B={a，ac，ac2}，若A=B，求c的值。

创新、拓展、实践1. 数学与生活例8 写出集合{农夫，狼，羊}的所有子集，由此设计一个方案：农夫把狼、羊、菜从河的一岸送到另一岸，农夫每次乘船只能运送一样东西，并且农夫不在场的情况下，狼和羊不能在一起，羊和菜不能在一起。

2. 开放探究题x-= 4}，集合B={1，2，b}.例9 已知集合A={x∣a（1）是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出对应的a值，若不存在，说明理由。

（2）若A⊆B成立，求出对应的实数对（a，b）高考要点阐释例1 （山东模拟）设a 、b ∈R ，集合{1，a + b ，a }={0，ab ，b}，则b – a =( ) (请写出解题过程)A. 1B. -1C. 2D. -2例 2 (湖北模拟）已知集合A={-1，3，2m -1}，集合B={3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m=___________.例3 （2008·福建高考）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若任意a 、b ∈P ，都有a + b 、a b 、ba ∈P （除数b ≠0），则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域；数集F={a +b 2∣a 、b ∈Q}也是数域。

有下列命题：①整数集是数域；②若有理数Q ⊆M ，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域。

其中正确的命题的序号是__________.（把你认为正确的命题的序号都填上）<名师专家专辑1·空集>1. 空集的概念及性质例1 在（1）{0}；（2）{∅}；（3）{x∣3m＜x ＜m}；（4）{x∣a + 2＜x ＜a}；（5）{x∣x 2+1=0，x ∈R}中表示空集的是__________.2. 空集性质的应用例2 已知集合A={x∣x ＞0，x ∈R}，B={x∣x 2- x + p=0}，且B ⊆A ，求实数p 的范围。

例3 已知A={x∣x 2- 3x + 2=0}，B={x∣ax - 2=0}，且B ⊆A ，求实数a 组成的集合C.集合的基本运算例1 设集合A={x ︱-1＜x ＜2}，集合B={ x ︱1＜x ≤3 }，求A B.例2 A={ x ︱-1＜x ≤4}，B={ x ︱2＜x ≤5}，求A B.例3 若A 、B 、C 为三个集合，A B = B C ，则一定有（ ）B. C ⊆AC. A≠CD. A = ∅ A. A ⊆C的解为A ，U=R ，试求A 及C U A ，并把它们分别表示在 例 4 不等式组数轴上。

题型一 基本概念例1 设集合A={（x ，y ）∣a 1x + b 1y + c 1= 0}，B={（x ，y ）∣a 2x + b 2y + c 2= 0}，则方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111c y b x a c y b x a 的解集是__________；方程(a 1x + b 1y + c 1)（a 2x + b 2y +c 2）= 0的解集是__________.题型二 集合的并集运算例2 若集合A={1，3，x}，B={1，x 2}，A B ={1，3，x}，则满足条件的实数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个题型三 集合的交集运算例3 若集合A={x∣x2- ax + a2- 19 = 0}，B={x∣x2- 5x + 6 = 0}，C={x∣x2+ 2x∅(A B)与A C=∅同时成立。