【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之191排列组合模型一、选择题（共40小题；共200分）1. 从1，2，3，4，5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数，则奇数位上必须是奇数的三位数个数为( )A. 12B. 18C. 24D. 302. GZ新闻台做《一校一特色》访谈节目，分A，B，C三期播出，A期播出两所学校，B期，C期各播出1所学校，现从8所候选学校中选出4所参与这三项任务，不同的选法共有( )A. 140种B. 420种C. 840种D. 1680种3. 安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为( )A. 72B. 96C. 120D. 1564. 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有( )A. 6种B. 24种C. 30种D. 36种5. 某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A. 80种B. 90种C. 120种D. 150种6. 在某商业促销的最后一场活动中，甲、乙、丙、丁、戊、己6名成员随机抽取4个礼品，每人最多抽一个礼品，且礼品中有两个完全相同的笔记本电脑，两个完全相同的山地车，则甲、乙两人都抽到礼品的情况有( )A. 36种B. 24种C. 18种D. 9种7. 汉中最美油菜花节期间，5名游客到四个不同景点游览，每个景点至少有一人，则不同的游览方法共有( )种．A. 120B. 625C. 240D. 10248. 5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有( )A. 25种B. 60种C. 90种D. 150种9. 某翻译公司为提升员工业务能力，为员工开设了英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训课程，要求每名员工参加且只参加其中两种．无论如何安排，都有至少5名员工参加的培训完全相同．问该公司至少有多少名员工?( )A. 17B. 21C. 25D. 2910. 某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团．若每个同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1个参加“演讲团”的不同参加方法为( )A. 4680B. 4770C. 5040D. 520011. 小明有中国古代四大名著：《三国演义》，《西游记》，《水浒传》，《红楼梦》各一本，他要将这四本书全部借给三位同学，每位同学至少一本，但《西游记》，《红楼梦》这两本书不能借给同一人，则不同的借法有( )A. 36种B. 30种C. 24种D. 12种12. 四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有( )A. 10种B. 14种C. 20种D. 24种13. 某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是( )A. 18B. 24C. 36D. 4214. 甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是( )A. 258B. 306C. 336D. 29615. 将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为( )A. 72B. 120C. 192D. 24016. 有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有( )个．A. 78B. 102C. 114D. 12017. 从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D 四科竞赛，其中甲不能参加A，B 两科竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A. 24B. 48C. 72D. 12018. 《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有( )A. 144种B. 288种C. 360种D. 720种19. 从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有( )A. 140种B. 80种C. 70种D. 35种20. 将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数为( )A. 120B. 150C. 35D. 5521. 若从1，2，3，⋯，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A. 60种B. 63种C. 65种D. 66种22. 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法共有( )A. 1260种B. 2025种C. 2520种D. 5040种23. 将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( )A. 15B. 20C. 30D. 4224. 从5种主料中选2种，8种辅料中选3种烹制菜肴，烹制方式有5种，那么最多可以烹制出不同的菜肴种数为( )A. 18B. 200C. 2800D. 3360025. 某学校安排3位老师与5名学生去3地参观学习，每地至少去1名老师和1名学生，则不同的安排方法总数为( )A. 1800B. 900C. 300D. 144026. 某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为( )A. 1080B. 480C. 1560D. 30027. 已知集合A={5}，B={1,2}，C={1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为( )A. 6B. 32C. 33D. 3428. 从4位男数学教师和3位女语文教师中选出4位教师派到4个班担任班主任（每班1位班主任），要求这4位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有( )A. 210种B. 420种C. 630种D. 816种29. 三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是( )A. 72B. 144C. 240D. 28830. 现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为( )A. 12B. 24C. 36D. 4831. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种32. 三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有( )A. 36种B. 72种C. 108种D. 120种33. 5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是( )A. 40B. 36C. 32D. 2434. 高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰好有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有( )A. 18种B. 24种C. 48种D. 36种35. 从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为( )A. 15B. 25C. 12D. 3536. 将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有( )A. 150种B. 180种C. 240种D. 540种37. 某班有60名学生，其中正、副班长各1人，现要选派5人参加一项社区活动，要求正、副班长至少1人参加，问共有多少种选派方法?下面是学生提供的四个计算式，其中错误的是( )A. C21C594B. C605−C585C. C21C594−C22C583D. C21C584+C22C58338. 四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )A. 14B. 716C. 12D. 91639. 五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )A. 12B. 1532C. 1132D. 51640. 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )A. 540B. 300C. 180D. 150二、填空题（共40小题；共200分）41. 航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则编队配置分配方案的方法数为．（用数字作答）42. 把4名中学生分别推荐到3所不同的大学去学习，每个大学至少收一名，全部分完，不同的分配方案数为．43. 从4名男同学，3名女同学中选3名同学组成一个小组，要求其中男、女同学都有，则共有种不同的选法．（用数字作答）44. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个（用数字作答）．45. 工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有种．46. 某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有种．（结果用数字表示）47. 将5幅不同的冬奥会宣传作品排成前后两排展出，每排至少2幅，其中A，B两幅作品必须排在前排，那么不同的排法共有种．48. 有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务，每个社区1到2人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为．49. 现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．50. 大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有种．（用数字作答）51. 某班主任准备请2016届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有种．（用数字作答）52. 某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门．若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有种．（用数字作答）53. 2017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案为．54. 用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有种不同的涂色方法．55. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有种．（以数字作答）56. 某班3名男生2名女生被派往三个单位实习，每个单位至少去一人，两名女生不去同一单位，则不同的分派方案有种（用数字作答）．57. 将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为．（用具体的数字作答）58. 在庆祝抗战胜利70周年活动期间，有5位外国领导人在天安门城楼前站成一排照相留影，若领导人甲与领导人乙必须相邻，领导人甲与领导人丙一定不相邻，则不同排法的种数是．59. 从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）60. 我们把三个集合中，通过两次连线后能够有关系的两个数字的关系称为“鼠标关系”，如图1，可称a与q，b与q，c与q都为“鼠标关系”．集合A={a,b,c,d}，通过集合B={1,2,3}与集合C={m,n}最多能够产生条“鼠标关系”．（只要有一条连线不同则“鼠标关系”不同）61. 若用1，2，3，4，5，6这6个数字组成不重复的六位数，满足1不在首位与末位，3个偶数中有且只有2个相邻，则这样的六位数的个数为．62. 我校高二某学生决定“五一”好好轻松一下，为此制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择4个进行游览，如果A，B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的次序经过A，B两城市（A，B两城市可以不相邻），则有种不同的游览线路．63. 某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是（用数字作答）．64. 若9个人任意排成一排，则甲排中间，且乙与丙相邻的概率为．65. 直线a，b为异面直线，直线a上有4个点，直线b上有5个点，以这些点为顶点的三角形共有个；66. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是．67. 甲、乙、丙三人站在共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数为．68. 现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为．69. 从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，⋯，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为（用数字作答）．70. 2015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人A，B，C，D，E除B与E，D与E不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤．现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多只进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有种．71. 甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．72. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．73. 从4名男生，3名女生中选派3人参加学科竞赛，一人参加数学竞赛、一人参加物理竞赛、一人参加化学竞赛，若3人中既有男生又有女生，则不同的选派方法有种．74. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有种．（用数字作答）75. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出4个不同的数字构成四位数，不大于3410的个数是．76. 从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有个．（结果用数字作答）77. 某校高一开设3门选修课，有3名同学，每人只选一门，则恰有1门课程没有同学选修共有种不同选课方案（用数字作答）．78. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有个．79. 5个人排成一排，其中甲与乙必须相邻，而丙与丁不能相邻，则不同的排法种数有种．80. 从1，2，3，⋯，20这20个自然数中，每次任取3个数，（1）若3个数能组成等差数列，则这样的等差数列共有( )个，若组成等比数列，则这样的等比数列共有( )个；（2）若3个数的和是3的倍数，则这样的数组有( )个；若其和是大于10的偶数，则这样的数组有( )个．三、解答题（共20小题；共260分）81. （1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法?（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法?（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法?（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?82. 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生；（2）某女生一定要担任语文科代表；（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．83. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法?（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员．84. 某地有 10 个著名景点，其中 8 个为日游景点，2 个为夜游景点．某旅行团要从这 10 个景点中选 5 个作为二日游的旅游地．行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点，第二天上午、下午各一个景点．（1）甲、乙两个日游景点至少选 1 个的不同排法有多少种?（2）甲、乙两个日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种?（3）甲、乙两个日游景点不同时被选，共有多少种不同排法?85. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班 24 名女同学，18 名男同学中随机抽取一个容量为 7 的样本进行分析．附：线性回归方程为 y ^=b ^x +a ^，b^=i −x )n i=1i −y )(x −x )2，a ^=y −b^x ， x y ∑(x i −x )27i=1∑(x i −x )7i=1(y i −y )7683812526（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本?（写出算式即可，不必计算出结果）（2）如果随机抽取的 7 名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：学生序号i1234567数学成绩x i60657075858790物理成绩y i 70778085908693（i ）若规定 85 分以上（包括 85 分）为优秀，从这 7 名同学中抽取 3 名同学，记 3 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 ξ，求 ξ 的分布列和数学期望；（ii ）根据上表数据，求物理成绩 y 关于数学成绩 x 的线性回归方程（系数精确到 0.01）；若班上某位同学的数学成绩为 96 分，预测该同学的物理成绩为多少分?86. 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．87. 设三位数 n =abc ，若以 a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数 n 有多少个?88. 有 9 名学生，其中 2 名会下象棋但不会下围棋，3 名会下围棋但不会下象棋，4 名既会下围棋又会下象棋．现在要从这 9 名学生中选出 2 名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法?89. 2016年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码中选择．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金猴卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”，“8685”为“金猴卡”，求这组号码中“金猴卡”的张数．90. 从5双不同的鞋中任意取出4只，求满足下列要求的不同取法有多少种：（1）所取的4只鞋中恰好有2只是成双的；（2）所取的4只鞋中至少有2只是成双的．91. （1）求(12−x)5的展开式中x3的系数及展开式中各项系数之和；（2）从0，2，3，4，5，6这6个数中任取4个组成一个无重复数字的四位数，求满足条件的四位数的个数．92. （1）3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种?（2）有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种?（3）现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种?93. 如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O，现用五种颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO进行染色，且每个三角形用一种颜色图染．（1）若必须使用红色，求四个三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数；（2）若不使用红色，求四个三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数．94. 在1，2，3，⋯，30个数中，每次取两两不等的3个数，使它们的和为3的倍数，共有多少种不同的取法?95. 如图，一环形花坛分成A，B，C，D 4个区域摆放鲜花，有4种不同颜色的鲜花可供选择，规定每个区域只准摆放一种颜色的鲜花，相邻区域鲜花颜色不同，问共有多少种不同的摆花方案?96. 如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形.除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x1，x2，⋯，x k，其中x i∈{0,1}(1≤i≤k)，其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x0 .（1）当 k =4 时，若要求 x 0 为 2 的倍数，则有多少种不同的标注方法? （2）当 k =11 时，若要求 x 0 为 3 的倍数，则有多少种不同的标注方法?97. 8 人排成一排照相，A ，B ，C 3 人互不相邻，D ，E 也不相邻，共有多少种排法?98. 75600 有多少个正约数；有多少个奇约数?99. 设 A ，B 均为非空集合，且 A ∩B =∅，A ∪B ={1,2,3,⋯,n } (n ≥3,n ∈N ∗)．记 A ，B 中的元素的个数分别为 a ，b ，所有满足" a ∈B ，且 b ∈A "的集合对 (A,B ) 的个数为 a n ．（1）求 a 3，a 4 的值；（2）求 a n ．100. 设 τ=(x 1,x 2,⋯,x 10) 是数 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的任意一个全排列，定义 S (τ)=∑∣2x k −3x k+1∣10k=1，其中 x 11=x 1．（1）若 τ=(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)，求 S (τ) 的值；（2）求 S (τ) 的最大值；（3）求使 S (τ) 达到最大值的所有排列 τ 的个数．答案第一部分 1. B 【解析】三个不相同的数组成三位数，首位与末位只能用奇数，中间位随意，故先排首位末位得 A 32×3=18．2. C 【解析】由题易知，不同的选法共有 C 82C 61C 51=840 种．3. B4. C【解析】由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从 4 科中任选 2科看作一个整体，然后做 3 个元素的全排列，共 C 42A 33种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共 A 33 种方法，故总的方法种数为 C 42A 33−A 33=36−6=30．5. D【解析】有两类情况：①其中一所学校 3 名教师，另两所学校各一名教师的分法有 C 53A 33=60 种；②其中一所学校 1 名教师，另两所学校各两名教师的分法有 C 51×C 422×A 33=90 种．∴ 共有 60+90=150种． 6. A【解析】若甲乙抽取的一个笔记本电脑和一个山地车，剩下 2 个礼品，被剩下的 4 人中的 2 个人抽取，有 A 22A 42=24 种，若甲乙抽取的都是笔记本电脑或两个山地车，剩下 2 个礼品，被剩下的 4 人中的 2 个人抽取，有A 22C 42=12 种，根据分类计数原理可得，共有 24+12=36 种． 7. C【解析】由于每个景点至少一人，故必有一个景点有 2 名游客，第一步，选出 2 名游客组成一组，共有 C 52=10 种方法，第二步，将选出的 2 名游客看作一个整体，和剩余的 3 名游客进行排列，共有 A 44=24 种方法， 所以不同的游览方法有 10×24=240 种． 8. D【解析】根据题意，分 2 步进行分析：①先把 5 位大学毕业生分成 3 组， 若分成 2−2−1 的三组，有 C 52C 32C 11A 22=15 种， 若分成 3−1−1 的三组，有C 53C 21C 11A 22=10 种，则一共有 15+10=25 种分组方法；②将分好的 3 组全排列，对应 3 家单位，有 A 33=6 种情况， 则不同的分配方法有 25×6=150 种． 9. C【解析】开设英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训课程，要求每名员工参加且只参加其中两种．没有相同的安排共有 C 42=6 种，当每种安排各有 4 人，没有 5 名员工参加的培训完全相同．此时有员工 4×6=24 人，当增加 1 人，必有 5 名员工参加的培训完全相同．所以该公司至少有 25 名员工． 10. C【解析】根据题意，分 2 种情况讨论：①若有 1 人参加“演讲团”，在 6 人中选出 1 人，参加“演讲团”，有 C 61=6 种情况，剩下的 5 个人参加剩下的 4 个社团，人数安排有 1，1，1，2 或 1，2，2 两种情况，则有 C 51C 41C 31C 22A 33×A 44+C 51C 42C 22A 22×A 43=600 种安排方法，则此时的不同参加方法有 6×600=3600 种．②若没有人参加“演讲团”，则 6 人参加 4 个社团，人数安排有 1，1，2，2 或 2，2，2 两种情况，此时有C 62C 42C 21C 11A 22A 22×A 44+C 62C 42C 22A 33×A 43=1440 种安排方法，则不同参加方法有 3600+1440=5040 种．11. B 12. B 13. D 【解析】根据题意，甲地需要选派 2 人且至少有 1 名女生，若甲地分派 2 名女生，有 C 22=1 种情况，若甲地分配 1 名女生，有 C 21⋅C 31=6 种情况，则甲地的分派方法有 1+6=7种，甲地安排好后，在剩余 3 人中，任选 2 人，安排在乙、丙两地，有 A 32=6 种安排方法，则不同的选派方法的种数是 7×6=42．14. C 【解析】由题意知本题需要分类解决， 因为对于 7 个台阶上每一个只站一人有 A 73 种；若有一个台阶有 2 人另一个是 1 人共有 C 31A 72 种，所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是 A 73+C 31A 72=336 种．15. D16. C 17. C 【解析】因为从 5 名学生中选出 4 名分别参加 A ，B ，C ，D 四科竞赛，其中甲不能参加 A ，B 两科竞赛，所以可分为以下几步：（1）先从 5 人中选出 4 人，分为两种情况：有甲参加和无甲参加．有甲参加时，选法有：C 43=4 种； 无甲参加时，选法有：C 44=1 种．（2）安排科目：有甲参加时，先排甲，再排其它人．排法有：A 21A 33=12 种．无甲参加时，排法有 A 44=24 种． 综上，4×12+1×24=72． 所以不同的参赛方案种数为 72． 18. A 19. C 20. C【解析】6 名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排 2 人，青岛至少安排 3 人，分两类，第一类，青岛安排 3 人，济南安排 3 人，有 C 63=20 种， 第二类，青岛安排 4 人，济南安排 2 人，有 C 64=15 种，根据分类计数原理可得 20+15=35 种．21. D 【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得 4 个偶数时，有 C 44=1 种结果， 当取得 4 个奇数时，有 C 54=5 种结果， 当取得 2 奇 2 偶时有 C 42C 52=6×10=60 ，所以共有 1+5+60=66 种结果，。