此最小值即为等相面的 传播速度 — 相速度
p
g(r )
八、亥姆霍兹方程
简谐波
U (r ,t) A(r ) cos[t g(r )]
Re{
A(r )
ejΒιβλιοθήκη t g(r )]}Re{A(r )
e
jg(r )
e
jt
}
定义复振幅：
U
(r )
A(r )
e
jg
(r )代入到标量波动方程中
，化简得：
W02
W02
1 1 j q(z) R(z) W 2
tan1( z ) W02
j
ln
W (z)
W0
(
z)
高斯光束基模解为：
U0 (x, y, z)
(x, y, z) e jkz
e
j
kz
p(
z
)
k 2q(
z
)
r
2
W0
e
W
r2 2(
z
)
e
j
kz
(
z
)
kr2 2R(z
)
W (z)
2U
(r
)
2
U
(r )
2U
(r )
k
2U
(r )
0
Helmholz Equation
注意：亥姆霍兹方程的适用条件！
§1-6 波动方程的高斯光束基模解——近轴解
一、高斯光束的由来
e.g.凹面反射镜构成的激光谐振腔输出的相干电磁辐射
2U
(r )
k
2U
(r )
二、波动方程的近轴解
将场分布 U (x, y, z) U0 (x, y, z) e jt 代入至Helmholtz Equation中得： 2U0 (x, y, z) k 2 (x, y, z)U0 (x, y, z) 0
六、关于谐波
一般谐波的数学表达式：
U
(r , t )
A(r )
cos[t
g(r )]
A(r )
—
谐波振幅,
g(r )
—
谐波位相均为标量实函
数
一般情况下
A(r )
const.
表示的等幅面与
g(r )
const.
表示的等相面不重合，
此波称为非均匀波。
谐波：任意一空间点，场的大小随时间变量按余弦形式周期变化； 任意一时刻，场的分布随空间变量不一定按余弦形式周期变化，即空间不 一定表现出周期性（且称为空间非谐波☺）。
2U
1 2
2U t 2
1 r2
(r 2 r
U r
)
1 2
2U t 2
0
2 (rU ) ) 1 2 (rU ) 0
2r
2 t 2
rU (r,t) U1(r t) U 2 (r t)
U (r,t) U1(r t) U 2 (r t)
r
r
思考：按以上方法，如何由波动方程求柱面波解？
1
dp
dz
dq dz
j
q(z)
0
0
dq
dz dp
dz
1 j
q(z)
p
q j
z q0 ln(1 z
q0
)
设：
1 1 j q(z) R(z) W 2 (z)
R(z)、W (z)均为实函数，与光束的 特性参数有关
令：q(z
0)
q0
j W02
n，n为均匀介质的折射率（ 此时R(z) ）
三、基模高斯光束参量的意义及光束特性
1、振幅/光强分布
振幅分布为：
W0
e
W
r
2
2
(
z
)
W (z)
特点：在垂直光轴平面内振幅/光强按高斯函数形式分布
三、基模高斯光束参量的意义及光束特性
2、光斑半径和束腰半径
W(z)——光斑半径：
W (z)
W02
1
z W02
2
W0 1
z2 z02
1/ 2
设场处于均匀介质中，沿着z轴传播（且场的大小随z轴的变化缓慢），
该场的复振幅分布具有以下形式：
代入至上式中得：
U0 (x, y, z) (x, y, z) e jkz
[(2 2 2 ) 2 jk ] e jkz 0
2x 2y 2z
z
场的大小随z轴的变化缓慢，即场大小关于z的二阶导数近乎为0，因此上式简化为：
二、均匀各向同性介质中
相应的波动方程为：
2 2
E H
2E t 2 2H
0 0
t 2
三、非均匀各向同性介质中
(r) 、(r)随空间坐标变化，波动方程为：
2E
(r)(r)
2E
0
2H
t 2
(r
)
(r
)
2H t 2
0
前提条件：
在一个波长范围内，场中两点对应的 、随空间坐标的变化
率小于1。
四、矢量波动方程转到标量波动方程的前提条件
0,
J
0,
(r
)
,
(r)
E Exi Ey j Ezk
或
E Exi or E Ey j or E Ezk
则
2
E
(r
)
(r
)
2
E
t 2
0 2Ei
2 Ei t 2
0, (i
x, y, z)
用标量U代替Ei ，
2U
2U t 2
0
标量波动方程
五、球面波解的另一种解法
哈密顿算子 2 在球坐标系下的表达式：
2U (U )
1 (r 2 U ) 1 (sin U ) 1 2U
r 2 r r r 2 sin
r 2 sin 2
由球面波的球对称性，即 U U(r,t) U U 0
得：
通解为：
光学工程硕士研究生课程
高等光学
第二讲
2013.09.17
§1-5 不同光学特性介质中矢量波动方程的表达形式
一、一般介质中电磁场满足的方程
2 2
E H
((rr))((rr))2t2E2H[[(l(nln))]]((EH)
[E (ln
) [H (ln
)]
)]
0
0
t 2
电磁场矢量理论的复杂性表现在各分量通过非均匀介质相互耦合
三、基模高斯光束参量的意义及光束特性
2 2 2 jk 0
2x 2y
z
构造一试探解，形式为：
(
x,
y,
z)
e
j
p(
z)
k 2q(
z)
r
2
其中 r x2 y2 , p(z)、q(z)均为复函数 ，代入至以上方程得：
2k
dp dz
j
q(
z)
k2
q
2
(
z
)
k2 q 2 (z)
dq
dz
r2
0
上式对任意r均成立，r的不同幂的系数必须为0，因此有：
七、关于相速度
等相面：位相相等的点的轨迹
(r ,
t)
0
,
(0为一个常数)
等相面传播的速度：
对等相面，有：
d
(r ,
t)
d[t
g(r )]
dt
-
g
(r )
dr
0
dr dt
r0ds dt
g(r )
,
r0为dr方向上的单位矢量
when
r0
等相面，即：
r0
//g (r )，ds dt
值最小，
W0光束束腰半径，束腰处 z z0
p(z) j ln(z q0 ) p(0) j ln q0
并设p(0) 0
场分布U 0
(x,
y,
z)
e
j kz
j
ln
1
z q0
kr2 2
1 R(z
)
j W 2 (
z
)
p(z) j ln(1
z ) q0
j ln(1
j z ) j ln 1 ( z )2