教学案例:《三角形中位线定理教学设计》
⒈创设问题情境,诱导学生发现结论
⑴怎样测算操场中被一障碍物隔开的两点A、B的距离?小明测量的方法是:在AB外选一点C,连结AC、BC,取AC、BC的中点M、N。
连结MN,量出MN=20m,这样能算出AB的长吗?AB与MN有何关系?经观察,你猜测
AB与MN的关系是:①②。
⑵MN这条线段既特殊又重要,我们把它叫做△ABC的
中位线。
即连结三角形两边点的线段叫三角
形的。
⑶一个三角形有条中位线,画出图4的三角形的所有中位线,观察、测量发现:
( )∥( ),( )=( )；( )∥( ),( )= ( )；( )∥( ),( )=
( )。
用语言叙述上述结论:三角形的中位
线并且 .
⑷再画出图2的△ABC的三条中线,它与中位线有何区别?
说明:⑴以上内容让学生按印发的学习提纲在课前完成。
⑵三角形中位线定义的引入、定理的结论课本是直接给出的,这不符合过程性原则.我们①以“应用性问题”导入,揭示了数学知识在生产、生活中的广泛应用,强化学习动机,变“要我学”为“我要学”;②让学生通过实验操作、观察比较、估计猜测,自己发现结论,
这可培养学生对数学的内在兴趣,让学生认识到数学不是少数天才创造的,而是经过努力一般人都可以发现的,数学来源于现实世界,而又是解决实际问题的有力工具,符合从“感性到理性”的认识规律。
⒉创设思维情境,启导学生发现证明结论的思路和方法
⑴检查课前自学情况。
教师提问有关问题,学生回答,并用多媒体展示答案。
⑵教师指出:同学们观察发现的这些结论是否正确,还需严格证明。
教师板书,学生在提纲上写已知、求证。
⑶启导全班学生思考、讨论证法,教师巡视与学生一起研究,收集信息,了解情况。
①本题与以前学过的哪些知识、方法有关?是什么关系?学生进行联想,回答。
△ADE与△ABC有何关系?若过D作平行于BC的直线,发现什么(用多媒体演示)?②怎样证一条线段等于另一条的一半?学生回答:截(把长的平分)与补(把短的加倍)。
经过探讨,学生不难发现以下三种证法:(过程略)
证法㈠:利用相似三角形证法㈡: 证法㈢:
说明:定理的证明,不拿现成的方法给学生,而是创设思维情境,启导学生“联想”到学过的有关知识和方法,使新旧知识得到顺利同化,并引导学生展开讨
论,实现思维交锋,智力杂交,这大大激发了学生的求知兴趣,让他们体验到成功的喜就应让学生独立完成,加大学生的参与度,对提高学生的独立表达能力大有好处。
⒋精讲总结,理性归纳
⑴教师引导学生分析定理的特点:题设:两个“中点”;结论:“平行”,“一半”。
⑵再指出:凡是与“中点”、“平行”、“线段倍分”有关的问题可考虑使用此定理。
说明:帮助学生揭示定理的本质特征,为灵活运用定理作准备。
⒌精心设计练习,进行变式训练
悦,数学思维能力在这一过程中得到了有效的发展。
⒊释疑解惑,引导学生独立完成证明
⑴要求A组同学选做一种证法,B组同学任选两种证法,C组同学三种证法都做,尖子生能发现新的证法或问题;⑵两人板演;⑶教师巡视,注意帮助学困生,并收集有关信息。
说明:传统教学的证明过程都是由教师完成,这不符合了主体性原则。
既然学生已经知道怎样解,⑴引导学生观察图8,问:可发现哪些新的结论?让学生抢答,注意简单的结论先让A组或B组同学回答,不明显的结论让C组同学补充,给各类学生提供表现才能的机会,并及时给予表扬与鼓励。
结论有:3个平行四边形;4个小三角形全等;小三角形的周长为原三角形的一半,面积为原三角形
的四分之一。
这些结论很重要,若学生没全部找出,可稍加提
示。
⑵这个问题能否进行推广?若把△ABC改为四边形ABCD,
又发现什么结论(见图9)。
让学生抢答,原则同上。
结论有:EFGH为平行四边行;EG与FH互相平分;EFGH的面积为ABCD的一半等。
⑶学生思考如何证明四边形EFGH为平行四边形?(另两个结论是否进行证明根据实际情况而定)
教师启导:①由条件“4边的中点”,可联想到什么知识?是否有三角形的中
位线?
②EF是哪个三角形的中位线?FG、GH、HF呢?学生马上意识到要连“对角线”。
⑷抢答:让三个学生先后口述证明(证法不同)过程,教师板书或用多媒体演示。
⑸教师指出:三角形中位线定理的两个结论可选用一个或两个都用。
⑹变式训练:①若四边形ABCD是平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形,则四边形EFGH分别
是、、、、 ;
②为使四边形EFGH为平行四边形、矩形、菱形、正方形,则原四边形ABCD 必须满足什么条件?教师用《几何画板》在计算机上拖动一个顶点让四边形进行变化,学生观察发现结论,教师问其理由;
③引导学生总结规律:四边形EFGH的形状是由什么决定的?(AC与BD,而与四边形ABCD的形状并没有直接联系)。
说明:①把课本练习3与例1两个孤立的问题结合在一起,体现了数学知识之间的联系,用联系、运动、变化的观点去研究各问题之间的转化,展示给学生一个动态的知识“生长”过程,促进学生新认知结构的形成与发展;②把它们改编成开放性问题,让学生有更广阔的思维空间,提供一个有利于群体交流的活动环境,让师生思维双向暴露,符合活动性原则;③再次体验研究数学的思想方法。
⒍课堂小结(以问题形式进行)
⑴教师引导:三角形中位线定理能否进行拓广?
⑵若把“中点”改为“三等分点”,如图10,D、
F与E、G分别是△ABC边AB、AC的三等分点即
AD=DF=FB,AE=EG=GC,则DE、FG、BC之间有何关系?
⑶若把三角形改为四边形,是否也有中位线?哪些四边形有中位线?有什么性质?
⑷请同学看提纲的作业补充思考题⑵(如图11),让学生思考,教师作启导:
①教师:M为BC的中点可联想到哪些知识?
学生:三角形中位线、直角三角形斜边上的中线等;
②教师:有没有符合三角形中位线定理的条件?学生:没有,欠一个中点;
③教师:怎么办?学生:再取一个中点;
④教师:另一中点可取在哪一边上?学生:AB或AC上。
说明:采用两个思考题进行小结,打破传统小结方法。
这是因为:⑴三角形中位线定理不难记,难的是如何创造性地应用;⑵把定理进行引伸,让学生余味未尽,带着问题回家,并为下节课研究“梯形中位线”做好铺垫,一举两得。