上次课内容及要求：1、熟练掌握常用数制及常用数制之间的转换。

2、熟悉常用的BCD 码及奇偶校验码、ASCII 码。

本次上课内容（2学时） §1-2 逻辑函数及运算1-2-1 逻辑函数中的三种基本运算逻辑代数，又叫布尔代数。

逻辑代数中的变量叫逻辑变量，取值只有0和1两种，分别用来表示客观世界中存在的既完全对立又相互依存的两个逻辑状态。

要注意，逻辑值“1”和“0”与二进制数字“1”和“0”是完全不同的概念，它们并不表示数量的大小。

一、三种基本逻辑运算1、与运算AB L A BL 断断 不亮 0 0 0 断合 不亮 0 1 0 合断 不亮 1 0 0 合合亮111(d ）逻辑符号(a ）例图(b)状态表 (c)真值表图1 与逻辑只有决定某事件的所有条件全部满足（具备）时，该事件才会发生，这种因果关系我们称它为与逻辑关系，简称与逻辑。

例银行金库的门按规定必须有关人员如金库经理、金库保管、财务会计等都到场时，门才能被打开，缺少任何一方皆不可。

又如图1(a)所示，只有当开关A、B 都合上时，灯L 才亮，情况列于状态表（b）中。

我们用1表示开关合上和灯亮，用0表示开关断开和灯不亮，则（b）成（c）。

这种表示输入变量（条件）的所有取值组合和其对应的输出变量（结果）取值的关系表叫逻辑真值表，简称真值表。

常用数学的方法来表示逻辑关系，与逻辑的逻辑表达式为：L=A ·B=AB（或者A∧B）；与逻辑的常量和常量之间的运算有：0·0=0；0·1=0；1·0=0；1·1=1。

逻辑关系还可用符号来表示，图1（d）中列出了新、旧两种与逻辑符号。

由于与逻辑关系常用数字电路中的与门实现，所以与逻辑符号也用来表示与门，而略去了实际的电路。

2、或运算只要决定某事件的条件中有一个或几个满足，该事件就会发生；只有当条件全部不满足时，事件才不会发生， 这种因果关系即为或逻辑关系，简称或逻辑。

如图2（a）所示，其真值表如（b）所示。

或运算的逻辑表达式为 L=A+B（或者A∨B）读成：“L 等于A 或B”，也可读成：“L 等于A 逻辑加B”。

图（c）为或运算的新、旧两种逻辑符号，数字电路中该符号还用来表示或门。

(b)真值表(c ）逻辑符号(a ）电路例图AB L 0 0 0 0 111 0 1 111图2 或逻辑或运算规则为：0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1 3、非运算当决定某事件的条件满足时，该事件不发生，而条件不满足时，该事件就发生，这种因果关系称为非逻辑关系，简称非逻辑。

如图3（a）所示，其真值表如图（b）所示。

A L 0 1 1(a)电路图例 (b)真值表 (c)符号图3 非逻辑非运算的逻辑表达式为：A L =图3(C）列出了非运算的新、旧逻辑符号，在数字电路中，还用该符号表示非门。

非运算规则为：10=；01=二、常用的复合逻辑由上面三种基本逻辑关系组合而成的复合逻辑关系有：与非、或非、与或非、异或、同或等，如表1所示。

例图4，如果我们把开关打在上面用1表示、打在下面用0表示，很明显该图体现的正好是同或关系。

表1 常用的复合逻辑图4 楼道照明电路1-2-2 逻辑函数表示方式 一、逻辑函数逻辑问题举例：人们为了行走方便，常在楼上和楼下各装一个单刀双掷开关，使得人们在楼上和楼下都能方便地控制同一盏灯的亮与不亮，其电路如图4所示。

我们把开关的状态A 和B 看作是条件，L 看作是结果，则L 和A、B 间存在着同或的逻辑关系。

在这些逻辑关系中，一旦A、B 的状态确定，则L 也随之确定，因此L 和A、B 的关系也是一种函数的关系。

我们把这种函数称为逻辑函数，记作L=F（A，B）。

二、逻辑函数的表示方法逻辑函数的常用表示方法有真值表、表达式、逻辑图、卡诺图等。

如图4，设开关向上、灯亮用1表示，相反用0表示，则可得如表2所示真值表。

我们把用基本逻辑运算及其复合运算表示的组合式叫做逻辑函数式（逻辑表达式），简称函数式。

则表2所示的逻辑关系可用下式表示：L=A B+AB1、由真值表写表达式找出表中使输出变量为1的组合，并由每种组合组成一个乘积项，再把这些乘积项相加即得逻辑表达式。

其中输入变量为1时取原变量形式，输入变量为0时取反变量形式。

例1 已知真值表如表3所示，写出对应的逻辑表达式。

解：使输出变量L为1的输入变量ABC的取值组合有：011、101、110、111。

按上述方法可得对应的乘积项分别为：A BC、A B C、AB C、ABC，所以表达式为：L=A BC+ A B C+ AB C+ ABC2、由表达式列真值表例2 已知函数表达式为L=A+AC+A B C，试列出其真值表。

解：先把A、B、C各种取值的组合代入表达式中，算出对应的函数值，整理可得表4所示真值表。

1-2-3 逻辑代数的基本定律一、基本定律和恒等式1、基本定律逻辑代数的基本定律包括：（1）常量与常量间关系的规律；（2）常量和变量间关系的规律；（3）变量和变量之间的普通规律；（4）特殊规律。

下面我们把后3种规律列表，如表5所示，其中反演律又称德·摩根定律，简称摩根定律。

表5 逻辑代数的基本定律逻辑代数基本定律的证明方法很多，可以用已知等式去证明，也可以列真值表证明。

例3 证明公式 B A B A ⋅=+证明：将变量A 和B 的所有4种取值组合分别代入上式两边进行计算，将情况填入表6中，可见等式是成立的。

除了以上所列基本定律外，逻辑代数还有以下几种常用恒等式。

2、常用恒等式 等式1 A ·B+A ·B =A等式2 A+AB=A 等式3 A+A B=A+B 等式4 AB+A C+BC=AB+A C 等式5 B A B A +=A B +A ·B要证明以上5个等式，可以用真值表的形式，也可以用基本定律来证明。

等式1的证明：()右式==⋅=+=+A A B B A B A AB 1 分配律 等式2的证明：()右式==⋅=+=+A A B A AB A 11 分配律等式3的证明： B A B A AB B A )(++=++=+B B A B A A()()右式=+=+++=+++=B A A A B B B A B A AB B A AB 重叠律等式4的证明：()A A BC C A AB BC C A +++=++AB()()右式=+=+++=+++=C A AB B C A C AB BC A ABC C A AB 11等式5的证明： B A B A B A B A ⋅=+ 反演律⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=B A B A 反演律()()B A B A ++= 还原律B B BA B A A A ++⋅+= 分配律 右式=+⋅=AB B A 交换律二、逻辑代数的基本运算规则1、代入规则任何一个含有某变量，如A 的等式，如果将所有出现A 的地方都用同一个逻辑函数来代替，则等式仍然成立，这就是代入规则。

2、反演规则对于任意一个函数式L，如果将其中所有的“· ”换成“+”，“+”换成“· ”；“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得新函数F 的表达式就是函数L 的反函数L ，这就是反演规则。

例函数L=A+BC，根据摩根定律可得C A B A BC A BC A L ⋅+⋅=⋅=+=。

按反演规则得新函数()C A B A C B A F ⋅+⋅=+⋅=。

很明显F 即L ，即该新函数就是函数L 的反函数L 。

注意：（1）用反演规则求反函数时应保持原函数的运算优先顺序；（2）求反函数时，不是一个变量上的非号应保持不变。

例4 求函数E D C B A L +++=的反函数，并证明之。

解：由反演规则可得()E D C B AF ⋅⋅⋅+= 证明时可将上式展开得()[]E D C B AF ++= 反演律 而从原函数直接利用反演律求反可得()()()[]ED C B A ED C B AE D C B A ED C B A L ++=+⋅=⋅++=+++=可见F 即L 。

3*、对偶规则(一般了解即可)对于任何一个逻辑函数L，若将L表达式中所有的“· ”和“+”互换，并保持运算优先顺序不变，则所得到的新的逻辑表达式称为函数L的对偶式，记作Lˊ。

所谓对偶规则是指：若两函数式L 1和L 2相等,则其对偶式L 1ˊ和L 2ˊ也相等。

另外，若Lˊ是L的对偶式，则L也是Lˊ的对偶式，即L和Lˊ互为对偶式。

图5 例5图§1-3 逻辑函数和逻辑图如果给定一个逻辑函数表达式，则只要把表达式中的与、或、非等逻辑运算用相应的逻辑符号表示，并把各逻辑符号按运算的优先顺序用线连接起来，就可得函数的逻辑图。

例5 试画出函数BC CD A B A L ++=的逻辑图。

解：对应的逻辑图如图5所示。

例6 写出如图6所示逻辑图的表达式。

解：从图中可知：，B A L +=1A L =2，B L =3，B A L L L +=+=324 所以其表达式为： ()()B A B A L LL ++=⋅=41图6 例6图本次课小结:本次课内容及要求：1、三种基本的逻辑运算。

(熟练掌握)2、逻辑关系的三种描述方法及对应关系。

（熟悉）3、逻辑代数的基本定律。

（了解）4、逻辑函数和逻辑图。

（了解） 本次课作业：1、判断题：（判断各题的正误，正确的在括号内记“√”，错误的在括号内记“×”）。

（1）二进制111110的8421码为00111110。

（ ） （2）奇偶检验码不但能发现错误，而且能纠正错误。

（ ） （3）采用奇偶检验码可以发现代码传送过程中的所有错误。

（ ） （4）由数字符号0和1组成的数一定是二进制数。

（ ） （5）若AB=A+B ，则A=B 。

（ ） （6）若X+Y≠X+Z ，则Y≠Z。

（ ） （7）若XY Y X =+，则X=Y 。

（ ）2、某楼道照明灯的开关控制电路如题图所示，图中A、B 为单刀双联开关。

（1）请用逻辑表达式描述灯F 与开关A、B 之间的关系；（2）试断开图中a 和b、c 和d 的连线，并将a 和d、b 和c 连通后，写出灯F 与开关A、B 状态之间的逻辑表达式；题2图（3）电路修改后的函数表达式与描述原电路的表达式有何关系？下次课预习内容：逻辑函数的代数法和卡诺图法化简。