n
排序权重。有wi>0，i，i1 wi 。1
即若在甲构比造乙判重断要矩，阵乙时比，丙各重层要元，素合间理两地两应比有较甲时比，丙aij更应重有要某，种在传数递值性上质表， 示递为性的aij·判aj断k=应aixk j与即xk相若比x，i与ajxk=j相6比。aij=3，xj与xk相比ajk=2，那么有传
Au= λmax u 分量形式：对 i =1，2，…，n
由定理1知ui>0 ，于是λmax=
n
a u ij
j
/
ui
注意aij=1，λmax-1= aij uj /ui
j1 ji
3.层次单排序及其一致性检验
求和（把i=1，…，n的各式相加）：
nλmax-n=
n
n aij
uj /ui 注意 aji=1/aij
c2
c3
方案层
桥梁D1
c4
c5
c6
隧道D2
c7
c8
c9
渡船D3
2、构造判断矩阵
上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素Z（目标A或某个 准比则重。Z）相联系的下层元素（x1，x2，…，xn)各在上层元素Z之中所占的
这里方得法到：的每A次=取(a2ij个)n×元n称素为，两如两xi，比x较j，的以判a断ij表矩示阵。xi 和 xj 对Z的影响之比。 含义Sa：aty建议用1～9及其倒数做为标度来确定aij的值，1～9比例标度的
层次分析法的基本思路是把复杂问题分解成若干 因素，把这些因素按照支配关系分组形成有序的递 阶层次结构，并权衡其各个方面的影响，然后综合 人的判断，以决定诸因素相对重要性的先后次序。
一、概述
在管理中，人们常常需要对一些情况作出决策：例如企 业的决策者要决定购置哪种设备，上马什么产品；经理要从 若干求职者中决定录用哪些人员；地区、部门官员要对人口 、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。
此问题中过河方式的确定取决于过河方式的效益与代价 （即成本）。通常我们用费效比（效益/代价）作为选择方 案的标准。为此构造以下两个层次分析的结构模型。
目标层
1.建立层第次九分章析层的次结分构析模型
过河的效益A
准则层 经济效益B1
社会效益B2
环境效益B3
美化 进出方便
舒适
自豪感 交往沟通 安全可靠
建筑就业 当地商业 岸间商业
建两两比较判断矩阵，解决一些评估类的问题
一、概述
层次分析法（analytic hierarchy Process， AHP）是著名运筹学家、美国匹兹堡大学教授T. L. Saaty于20世纪70年代提出的一种系统分析方法， 是一种实用的多准则决策方法。其主要特征是，它 合理地把定性与定量的决策结合起来，按照思维、 心理的规律把决策过程层次化、数量化。
目标层
1.建立层第次九分章析层的次结分构析模型
合理选择科研课题A
准则层 成果贡献B1
人才培养B2
课题可行性B3
财政支持 研究周期 难易程度
科
课题D2
c3
c4
c5
课题D3
1.建立层次分析的结构模型
[例3] 设某港务局要改善一条河道的过河运输条件，为此 需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有轮渡。
容易验证：对于n及向量u=(u1，u2，…，un)T 若aij=ui /uj ij 则
n
n
Au=nu (i， a u ij j )u又i 由 定nu理i1及性质2°可知 λmax=n，u满足4°
j 1
j 1
3.层次单排序及其一致性检验
5°若A为判断矩阵，那么A对应于λmax =n 的标准化（归一化）特征 向量 u=(u1，u2，…，un)T 就是一组排序权向量。
某研究单位现有3个科研课题，限于人力物力，只能承 担其中一个课题，如何选择？
考虑下列因素：成果的贡献大小，对人材培养的作用 ，课题可行性。
在成果贡献方面考察：应用价值及科学意义（理论价 值，对某科技领域的推动作用）；
在课题可行性方面考虑：难易程度（难易程度与自身的 科技力量的一致性），研究周期（预计需要花费的时间） ，财政支持（所需经费，设备及经费来源，有关单位支持 情况等）。
xi比xj强（重要）的程度
xi/ xj 相等 稍强 强 很强 绝对强
aij
1234 5 67 89
1～9标度的理由：两两比较的心理习惯，
显然，判断矩阵A的元素有如下特征：
1° aij>0 2° aji=1/aij 3° aii=1
我们称判断矩阵A为正互反矩阵。
2、构造判断矩阵
例如在例2中，准则层B对目标层作因素两两比较，并可建立下面判
二、层次分析法的基本原理
在建立递阶层次模型时，常常将问题划分为最高层、中间 层和最低层。最高层通常只有一个元素，它是问题的预定目 标，表示解决问题的目的，因此也是目标层。中间层是为实 现总目标而采取的措施和方案，它可以由若干个层次组成， 包括所考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。最低层是 为实现目标可供选择的各种决策方案，用于解决问题的各种 途径和方法，也称为方案层。
三、层次分析法的基本步骤
(3) 层次单排序及其一致性检验 判断矩阵的特征向量经过归一化后即为各因素关于目标的 相对重要性的排序权值。利用判断矩阵的最大特征根，可求 CI和CR值，当CR＜0.1时，认为层次单排序的结果有满意的 一致性；否则，需要调整判断矩阵的各元素的取值。 (4) 层次总排序及其一致性检验 从目标层开始，逐层向下由各个元素的相对权重计算出它 们相对于总目标的组合权重，即绝对权重或全局权重。总目 标本身的绝对权重为1，其下面每一层元素的相对权重乘以其 所针对的上一层准则的绝对权重，既得到该元素的绝对权重 。
收入
节省时间
c1 c2 c3
c4 c5
方案层
桥梁D1
c6
c7
c8
隧道D2
c9
c10
c11
渡船D3
1.建立层第次九分章析层的次结分构析模型
目标层
过河的代价A
准则层 经济代价B1
社会代价B2
环境代价B3
对生态的破坏 对水的污染 汽车排废物
居民搬迁 交通拥挤 冲击生活方式
冲击渡船业 操作维护 投入资金
c1
1.建立层次分析的结构模型
用AHP分析问题，首先要把问题条理化、层次化，构 造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为3类：
问题(1的) 预最定高目层标：或在理这想一博结层弈果次，中的因只分此有类又一称个目元标素层，；一般是分析
(2) 中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间 环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则， 子准则，因此又称为准则层；
3. 排序原理 层次分析法的排序问题是指一组元素两两比较、计算元素 相对重要性的测度问题。由于通过两两因素比较得到的判断 矩阵不一定满足矩阵的一致性条件，我们希望找到一个数量 标准来衡量矩阵不一致的程度。
三、层次分析法的基本步骤
层次分析法是模仿人们对复杂决策问题的思维、判断过 程进行构造的，其基本步骤如下：
(3) 最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决 策、方案等，因此又称为措施层或方案层。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素。
1.建立层第次九分章析层的次结分构析模型 决策目标
准则1
准则2 … 准则m1
子准则1
…
方案1
子准则2
…
方案2
… 子准则m2 ……
… 方案mr
1.建立层次分析的结构模型
(1) 建立系统的递阶层次结构模型 在深入分析所研究的问题后，将问题中所包含的因素划 分为不同层次，如目标层、准则层和方案层等，并画出层 次结构图表示层次的递阶结构和相邻两层因素的从属关系 。 (2) 构造两两比较判断矩阵 判断矩阵元素的值表示人们对各因素关于目标的相对重 要性的认识。在相邻的两个层次中，高层次为目标，低层 次为因素。
断矩阵：
B1：B2为3
B1：B3为1
认为成果贡献比另二项稍重要，另二项差不多相同重要。
判断矩阵
B1
B1
1
A=
B2 1/3
B3
1
B2
B3
3
1
1
1/3
3
1
3.层次单排序及其一致性检验
(1) 单一准则下元素排序：
W的求向判量断为矩同阵一A的层最次大中特相征应值元λ素m对ax及于标上准一化层（次归中一某化个）因的素特相征对向重量要W性。的
注：层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素 （非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部 分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称
之为递阶层次结构。 博弈的分类
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽 程度有关，一般可不受限制。
为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难 ，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个，若多于 9个时，可将该层次再划分为若干子层。
在日常生活中也常会遇到，在多种类不同特征的商品中 选购。报考学校选择志愿。毕业时选择工作岗位等。
这一系列的问题，单纯靠构造一个数学模型来求解的方 法往往行不通，而用完全主观的定夺也常常表现为举棋不定 ，而最终选择不理想，甚至不满意的决策方案。
面对这样的问题，运筹学者开始了对人们思维决策过程 进行分析、研究。
数据、模型与决策
第八讲 层次分析法 主讲：邓旭东教授
教学内容
1
概述
2
层次分析法的基本原理
3
层次分析法的基本步骤
4
层次分析法的计算
5
层次分析法应用实例
学习目标
▪ 掌握层次分析法的基本思路 ▪ 掌握层次分析法的基本原理 ▪ 掌握层次分析法的基本步骤 ▪ 掌握求解正互反矩阵最大特征值及相应特征向