半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与O O相切.例2 如图，AD是/ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与O O相切.证明一：作直径AE，连结EC.•/ AD是/ BAC的平分线，•••/ DAB= / DAC.•/ PA=PD ,•••/ 2=Z 1+ / DAC.•••/ 2=Z B+ / DAB ,•••/ 仁/ B.又•••/ B= / E,•••/ 仁/ E•/ AE是O O的直径，•AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°.•••/ 1 + / EAC=90°.即OA丄PA.• PA与O O相切.证明二：延长AD交O O于E,连结OA , OE.•/ AD是/ BAC的平分线，•BE=C1E, c• OE 丄BC.•/ E+/ BDE=900.•/ OA=OE , • / E=/ 1.例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且 OA 2=OD • OP. 求证：PC 是O O 的切线.说明: 求证: •/ PA=PD , •••/ PAD= / PDA. 又•••/ PDA= / BDE, •••/ 1 + Z PAD=90 0即OA 丄PA. • PA 与O O 相切此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用如图，AB=AC , AB 是O O 的直径，O O 交BC 于D ,DM 与O O 相切.例4 如图，已知：AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长线上 求证：DC 是O O 的切线例6如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点, 求证：CE与厶CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△ CFG的外接圆，但△们取FG的中点0,连结0C,证明CE丄OC即可得解.证明：取FG中点0,连结0C.T ABCD是正方形，••• BC 丄CD , △ CFG 是Rt△•/ 0是FG的中点，•0是Rt △ CFG的外心.•/ 0C=0G ,•••/ 3= / G ,•/ AD // BC,•/ G=Z 4.•/ AD=CD , DE=DE ,/ ADE= / CDE=45°,•△ ADE ◎△ CDE (SAS)•••/ 4=Z 1,Z 1 = / 3./ / 0vZ 2+Z 3=90 ,•••/ 1 + Z 2=90°.即CE丄0C.AG交BD于E,交CD于F.CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我••• CE与厶CFG的外接圆相切方法二：若直线l与O O没有已知的公共点，又要证明I是O O的切线，只需作OA丄I, A为垂足，证明OA是O O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”（一般用于函数与几何综合题）例1如图，AB=AC , D为BC中点，O D与AB切于E点.求证：AC与O D相切.分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的,这类习题多数与角平分线有关例2：已知：如图，AC , BD 与O O 切于A、B，且AC // BD，若/ COD=90求证：CD是O O的切线.证明一：连结OA , OB，作OE丄CD , E为垂足.•••AC , BD 与O O 相切，•AC 丄OA , BD 丄OB.•/ AC // BD ,•••/ 1+ / 2+Z 3+ / 4=180°.• / COD=90°,•/ 2+Z 3=90°,/ 1 + / 4=90°.•/ 4+Z 5=900.•Z 1 = / 5.•Rt△AOC s Rt△BDO.AC OC• __ __"OB OD .•/ OA=OB ,AC OC"OA OD.又•/ CAO= / COD=900,AB C• △ AOC ODC ,• / 1 = / 2.又• OA 丄AC , OE 丄CD,••• OE=OA. • E 点在O O 上. • CD 是O O 的切线.连结OA , OB ,作OE 丄CD 于E ,延长 DO 交CA 延长线于 F.••• AC ，BD 与O O 相切， • AC 丄 OA , BD 丄 OB. •/ AC // BD , • / F= / BDO. 又••• OA=OB ,• △ AOF ◎△ BOD (AAS ) • OF=OD. •••/ COD=9O °, • CF=CD ，/ 1 = / 2.又••• OA 丄 AC , OE 丄 CD , • OE=OA. • E 点在O O 上. • CD 是O O 的切线.连结AO 并延长，作 OE 丄CD 于E ,取CD 中点F ，连结OF.••• AC 与O O 相切， • AC 丄 AO. •/ AC // BD , • AO 丄 BD.••• BD 与O O 相切于B , • AO 的延长线必经过点 B. • AB 是O O 的直径.•/ AC // BD , OA=OB , CF=DF , • OF // AC , • / 1= / COF.•••/ COD=90 0, CF=DF ,1• OF = CD =CF .2• / 2= / COF.证明二: 证明三:•/ OA 丄AC , 0E 丄CD ,•OE=OA.•E点在O O上.•CD是O O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明/ 1 = / 2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明/是利用梯形的性质证明/ 1= / 2,这种方法必需先证明A、O、B三点共线.课后练习:BC丄AB, AD // OC交O O于D点，求证：CD为O O的切线;(2)如图，以Rt A ABC的直角边AB为直径作O O,交斜边DE是O O的切线•(3)如图，以等腰厶ABC的一腰为直径作O O,交底边BC于D，交另一腰于F，若DE丄AC于E (或E 为CF中点)，求证：DE是O O的切线•A 仁/2•证明三(1)如图，AB是O O的直径,求证:DE,(4)如图，AB是O O的直径，AE平分/ BAF，交O O于点E,过点E作直线ED丄AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是O O的切线.知识点二：与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。
分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。
其中重要而常见的数学思想方法有：(1)构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建"射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长)；射影定理：所谓射影，就是正投影。
其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。
由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
2公式Rt△ ABC 中，/ BAC=90° ,AD 是斜边BC 上的高,则有射影定理如下：：(1)(AD) ;=BD DC,2 2 ⑵(AB) ;=BD BC ,⑶(AC) ;=CD BC。
等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)AB 0 C③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型(已知线段长度) ；⑤构造三角函数(已知有角度的情况)；©找不到，找相似(2)方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程, 解决问题。
(3)建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
典型基本图型：图形1 :如图1：AB是O O的直径，点E、C是O O上的两点，基本结论有：(1) 在“ AC平分/ BAE ”；“ AD丄CD ”；“ DC是O O的切线”三个论断中，知二推一。
(2) 如图2、3, DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF (或弓形BCE的半弦EF)。
（3） 如图（4）:若CK 丄AB 于K ，则： 1 ① C K=CD ; BK=DE ; CK= BE=DC ; AE+AB= 2BK= 2AD; 2 ② "ADC s" ACB 二 AC 2=AD?AB （4） 在（1）中的条件①、②、③中任选两个条件，当 BG 丄CD 于E 时（如图5）,则： ① DE=GB :② DC=CG :③ AD+BG=AB ; 1 2 2 ④ AD?BG= DG 2 =DC 24GO 交AC 于点E ,基本结图形 2:如图：Rt "ABC 中，/ ACB=90°。
点 论有： AO 是AC 上一点， 以oc 为半径作oA“BD=BC ”。
四个论断中，知一推三。
(1) 在“ BO 平分/ CBA ” ; “ BO // DE ” ; “ AB 是O O 的切线”(2) ① G 是"BCD 的内心；② C G=GD ；③"BCO s" CDE 二 BO?DE=CO?CE= CE 2 ； 2(3) (4) 在图（1 ）中的线段 BC 、CE 、AE 、AD 中，知二求四。
AE 1如图（3）,若① BC=CE ，则：②——=—=tan / ADE :③ BC : AC : AB=3: 4: 5 ;（在①、②、③中 AD 2知一推二）④设 BE 、CD 交于点H 「则BH=2EH 图形3：如图：Rt " ABC 中，/ ABC=90°，以AB 为直径作O O 交AC 于D ,基本结论有: 如右图：(1) DE 切O O= E 是BC 的中点；(2)若 DE 切O O ,则：① DE=BE=CE ; ② D 、O 、B 、E 四点共圆=/ CED=2 / A ③ CD-CA=4BE 2, DE = CD = BC R BD BAC EB图形特殊化：在（1 ）的条件下 如图1 : DE // AB= " ABC 、" CDE 是等腰直角三角形； 如图2 :若DE 的延长线交AB 的延长线于点F ，若AB=BF ，则:图形4：如图，"ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作O O ,交BC 于点D ，交AC 于点F ,基本结论有：(1) DE 丄AC= DE 切O O ;(2) 在DE 丄AC 或DE 切O O 下，有：①"DFC 是等腰三角形;②EF=EC :③D 是BF 的中点。