例2、已知
xj 1 3 yj 10 5
4 4
5 2
67 11
8 2
9 10 34
解 ：数据点描绘
令 (x) a0 a1x a2 x2
则
9 53 381
53 381 3017
381 a0 32 3017 a1 147 25317 a2 1025
解之得 a0* 13.4597 , a1 3.6053 , a2 0.2676 故 y (x)
2、牛顿型插值多项式 已知 y = f(x) 在 n+1 个节点 x0 , x1 , … , xn 处的函
数 f(x0 ) , f( x1 ) , … , f( xn ) 。则 牛顿型插值多项式为
Nn (x) f (x0) f [x0 , x1](x x0 ) f [x0 , x1 , x2](x x0)(x x1) f [x0 , x1 , , xn ]( x x0 )( x x1) (x xn1)
, xn1]
各阶差商的计算
差商表
xi f(xi) 一阶差商 二阶差商
三阶差商
x0 f(x0)
f [x0 , x1]
x1 f(x1)
f [x0 , x1 , x2]
f [x1 , x2]
f[x0 , x1 , x2 , x3]
x2 f(x2)
f [x1 , x2 , x3]
f [x2 , x3]
x3 f(x3)
f [x0 , x1 , x2 ]
f [x1 , x2 ] f [x0 , x1] x2 x0
于点 x0 ，x1 ，x2 二阶差商。
称为函数 f(x) 关 称为函数 f(x) 关
n 阶差商： n-1 阶差商的差商
f [x0 , x1, x2 ,
, xn ]
f [x1, x2 ,
, xn ] f [x0 , x1, xn x0
数 y0 , y1 , … , yn 。
n次插值多项式（插值函数）为
Ln (x) y0l0 (x) y1l1(x) ynln (x)
其中：
li
(x)
(x x0 )( x (xi x0 )( xi
x1) x1)
(x ( xi
xi1)( x xi1) (x xi1)( xi xi1) (xi
x x0 x1 x0
x 1 2 1
x 1
L1(x) y0l0(x) y1l1(x) 0.95(2 x) 0.82(x 1) 0.13x 1.08
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
2、二次插 值 已知数据表
x x0 x1 x2 f (x) y0 y1 y2
二次插值多项式（插值函数）为
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
,
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
l2
(x)
(x ( x2
x0 )( x x1) x0 )( x2 x1)
3、n 次插值
已知 y = f(x) 在 n+1 个节点 x0 , x1 , … , xn 处的函
xj
j1
n
n
j1 n
x x
j
2 j
a0 a1
yj
j 1
n
xjyj
j1
j1
抛物拟合 ：拟合函数 (x) a0 a1x a2 x2
a0 , a1 , a2
满足:
n
n
xj
j1
n
x
2 j
j1
n
xj
j 1
n
x
2 j
j 1
n
x
3 j
j 1
n
j1
n
x
2 j
x3j
求 (x) ？
求 (x) ？
设
j (x j ) f (x j ) (x j ) y j ( j 1,2, , n)
称 j
为残差。 记
n
n
Q
2 j
( (x j ) 取得最小值。
曲线拟合的最小二乘法
二、拟合函数
给定 f(x)的数据 (xj , yj)(j = 1 , 2 , … , n) , 用
13.4597 3.6053x 0.2676x2
五、其它形式拟合
例3、用形如 p(x) = AeM x 的函数拟合下列数据
xj 1 2 3 4 pj 7 11 17 27
解：由 p(x) = AeM x 得 lnp = lnA + M x
记 ：y = lnp , a0 = lnA , a1 = M , 则有
y (x) a0 a1x
且
xj
123
4
yj = ln pj 1.945 2.398 2.833 3.296
于是 , 由
n n
xj
j1
n
n
j1 n
x x
j
2 j
a0 a1
yj
j 1
n
xjyj
j1
j1
解得：a0 = 1.496 , a1 = 0.4488 。于是 A ea0 4.464 , M a1 0.4488
L2 (x) y0l0 (x) y二L12l次1(x(插xi))=值y函yi 2数,l2i仍(=x要0) 满, 1足, 2：
l0 (x) , l1(x) , l2 (x)
二次插值基函数
满足
1 , i k
li (xk ) 0 , i k (i , k 0 ,1, 2)
于是，易得：
l0 (x)
n
k (x j ) y j j 1
则(*)可写成 :
(0,0 )
(1,0 )
(m ,0
)
(0 ,1 ) (1,1)
(m ,1)
(0,m ) a0 (0, y)
(1,m )
(m ,m )
a1 am
(1, y)
(m, y)
(**)
通过求解方程(**) , 求出 a0, a1, , am 。
yj 4.00 6.40 8.00 8.80 …
Yj 1.386 1.856 2.079 2.175 …
解得：A = 2.4297 , B = -1.0706 。即 a eA 11.355 , b B 1.0706
1.0706
于是 y 11.355 e t
例5、用形如 W = C t λ 的函数拟合下列数据
a0 a1
n
yj
j 1
n
xjyj
j1 n
x
4 j
a2
j1
n
x
2 j
y
j
j1
j1
例1、已知
j 1234
xj 2 4 6 8 yj 2 11 28 40
解 ：数据点描绘
令 (x) a0 a1x
则
4 20
12200
a0 a1
58316
解之得 a0* 12.5 , a1 6.55 故 y (x) 12.5 6.55 x
j 1
n
x m1 j
j 1
n
x
2 j
m
a0 a1 am
j 1
n
xjyj
j 1
n
x
m j
y
j
j 1
j1
（***）
注：当 m = 1 时, 直线拟合 ; 当 m =2 时, 抛物拟合 。
直线拟合 ：拟合函数 (x) a0 a1x
a0 , a1 满足: n
n
因此
p(x) = 4.464 e0.4488 x
例4、已知
tj 1
2
3
4
56
7
8
9
yj 4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 10.00
10 11 12 13 14 15 16
10.20 10.32 10.42 10.50 10.55 10.58 10.60
Q
ak
nm
2 ( aii (x j )
j 1 i0
y j )k (x j ) 0
(k 0,1,2, , m)
即
mn
n
i (x j )k (x j ) ai y jk (x j )
i0 j 1
j 1
亦即
n
n
n
a0 0 (x j )k (x j ) a1 1(x j )k (x j ) am m (x j )k (x j )
xn ) xn
)
li (x) (i 0 ,1, 2 , , n)
满足
1 , i k li (xk ) 0 , i k
n次插值基函数
(i , k 0 ,1, 2 , , n)
二、牛顿型插值
1、差商：
f [x0 , x1]
f (x1) f (x0 ) x1 x0
于点 x0，x1 的差商。
插值与曲线拟合
第一节:插值
插值的目的
已知三角函数表
x 9012’ 9018’ 9024’ sinx 0.1599 0.1616 0.1633
查 9020’ 求函数近似表达式及近似值
一、拉格朗日型插值
1、线性插
值
已知数据表
x x0 x1
f (x) y0 y1
插值函数要满足：
性插值x0函，数x）1称为为插值节点，线L性1(插x0)值=多y0项; L式1(（x1线) = y1
(x) a00 (x) a11(x) amm (x)
m
akk (x) k 0
来拟合函数 f (x) , 其中 0 (x),1(x), ,m (x) 为已知的