=
l sin q
w12
它垂直由α 和OM 形成的平面，指向如图。
因为α 垂直于ω和ω1, 所以α 垂直于平面OMC，故a1在OMC 平面内。
M点的向轴加速度a2大小为：
a2
=
w2
× ME
=
w2
× 2l
sin q
=
2l sin q
w12
它的方向自点M指向E，也在OMC 平面内。
故： a = a1 + a2 由余弦定理得： a 2 = a12 + a22 - 2a1a2 cos 2q
3、瞬时转动轴·角速度·角加速度 各点的速度、加速度
刚体绕定点运动的运动学描述
(1) 瞬时转动轴·角速度·角加速度
Δt 趋于零时，Δφ 也趋于零，轴OC*趋近于某一 极限位置OC. 轴OC称为刚体在该瞬时的瞬时转动 轴，简称瞬轴。
刚体在不同的瞬时，瞬轴的位置不同。
刚体绕瞬轴转动的角速度ω 为矢量，大小为：
将a1, a2代入上式，并注意到:
cotq
=
l r
,
sinq
=
r r2 + l2
a = w12l
9
+
æ çè
l r
ö2 ÷ø
3、瞬时转动轴·角速度·角加速 度，各点的速度、加速度
vM
刚体绕定点运动的运动学描述
ω
=
lim Dj Dt®0 Dt
S A
M
NB
B'
Δφ
C*
A' O ω C
ω 方向沿瞬轴，指向按右手法则规定。
ω 为矢量，大小和方向都在变化， ω 对时间t的
一阶导数，称为刚体绕定点运动的角加速度，
用α 表示。
α
=
dω dt
α 也是矢量，方向沿角速度矢ω 的矢端曲线切线。
切线
ω α
O
一般情况下，α 与ω 不共线，这与刚体绕定轴转动不同。
θ
设行星轮绕瞬轴转动的角速度为ω。
θ
A
则行星轮中心A点速度为： vA = OAsinq ×w运动，速度为： vA = OA ×w1
w
=
w1 sinq
=常量
点M的速度大小为： vM
=
ME ×w
=
2r cosq
w1 sin q
考虑到M到OC的距离为A到OC距离的2倍，所以: 2r cosq = 2l sinq
3、瞬时转动轴·角速度·角加速 度，各点的速度、加速度
vM
= 2l sinq
w1 sin q
= 2lw1
它的方向垂直于平面OMC，指向如图。
刚体绕定点运动的运动学描述
行星齿轮的角加速度为:
α
=
dω dt
因为ω只改变方向不改变大小，而且它和z 轴间 ω
夹角β =90º-θ 的大小保持不变，所以它的矢端曲
3、瞬时转动轴·角速度·角加速 度，各点的速度、加速度
刚体绕定点运动的运动学描述
(2) 刚体上各点的速度和加速度
刚体上任一点M 的速度v，可表示为：
v =ω´r
大小：等于ωh1，方向： ω r v 满足右手定则。
刚体上任一点M 的加速度a，可表示为：
a=
dv dt
=
d dt
(
ω
×
r
)
=
ddωt ×
r
+
ω
´
dr dt
= α×r + ω×v
a2
h1 M
v
h2 r
a1
ωα
O
第一项 第二项
a1 = α × r a2 = ω ´ v
—转动加速度 大小：等于αh2，方向： α r a1 满足右手定则。 —向轴加速度 大小：等于h1ω2，方向： 垂直于ω 和v 指向瞬轴。
刚体绕定点运动时，刚体内任一点的速度等于绕瞬轴转动的角速度与矢径 的矢量积；该点的加速度等于绕瞬轴的向轴加速度与绕角加速度矢的转动 加速度的矢量和。
3、瞬时转动轴·角速度·角加速 度，各点的速度、加速度
刚体绕定点运动的运动学描述
例1 行星锥齿轮的轴OA以匀角速度ω1绕铅直轴OB转动，设OA=l，AC=r, 求
齿轮上点M的速度和加速度。
解：行星齿轮的运动是绕定点Ｏ的运动。大
齿轮不动，所以啮合点C的速度等于
ω
ω1
M vM
零，所以OC连线为瞬轴。
O
ω1
β
O
a1 θ
2θ M
a
θ
线是水平的圆周。 ω , ω1始终位于OMC 平面内。
θ
a2 A
有：
α
=
dω dt
=
ω1
´
ω
αB
EC
α
的大小为：a
= w1 ×w sin b
=
w1
w1 sinq
cosq
M点的转动加速度a1大小为： a1 = a × OM
= w12 cotq = w12 cotq
l cosq