q
1，使得
f
(x)
(x
N a)q
(a
x
b),
则广义积分 b f ( x)dx 发散. a
定理７(极限审敛法2) 设函数 f ( x) 在区间 (a,b] 上连续，且 f ( x) 0, lim f ( x) .
xa0
如果存在常数0 q 1，使得 lim ( x a)q f ( x) xa0 存在, 则广义积分 b f ( x)dx 收敛； a
收敛.
a
a
a
定义
满足定理5条件的广义积分
a
f
( x)dx
称为绝对收敛.
绝对收敛的广义积分
f
(
x)dx
必定收敛．
a
例5 判别广义积分 eax sin bxdx (a,b 都是 0
常数a 0) 的收敛性.
解 eax siax sin bx dx 收敛. 所以所给广义积分收敛. 0
根据比较审敛法１，
广义积分 dx 收敛. 1 3 x4 1
定理4 (极限审敛法１) 设函数 f ( x) 在区间[a,)
(a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 p 1，
使得 lim x p f ( x) 存在，则
f
(
x
)dx
收敛
；
x
a
如果 lim xf ( x) d 0 (或 lim xf ( x) ), 则
二、无界函数的广义积分的审敛法
定理6 (比较审敛法2) 设函数 f ( x) 在区间(a,b]
上连续，且 f ( x) 0, lim f ( x) .如果存在 xa0
常数
M
0及
q
1，使得
f
(x)
M ( x a)q
(a
x
b), 则广义积分 b f ( x)dx 收敛；如果存在常数 a
N
0及
三、 函数
定义 (s) ex xs1dx (s 0) 0
特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 s 1 0 时被积函数在点 x 0 的 右领域内无界.
设 I1
1 e x x s1dx,
0
I2
e x x s1dx,
1
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
一、无穷限的广义积分的审敛法
不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法.
定理１ 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，
且 f ( x) 0．若函数 F ( x)
x
f (t)dt
a
在 [a,) 上有界，则广义积分
f
(
x
)dx
收敛
．
a
由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．
1
lim ( x 1)
x 1 0
ln x
1
lim
x 1 0
1
1 0,
x
根据极限审敛法2,所给广义积分发散.
1
sin
例7 判别广义积分 3 xdx 的收敛性. 1x
1
解
sin x
1 ,而
1 dx 收敛，
x
x ０x
根据比较审敛原理,
1 sin
1 x dx 收敛，
0x
1 sin
从而 1 xdx 也收敛． 0x
例４ 判别广义积分 arctan xdx 的收敛性.
1
x
解 lim x arctan x lim arctan x ,
x
x
x
2
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
定理5 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，
如果
f ( x) dx 收敛；则
f
(
x
)dx
也收敛．
a
a
证 令 ( x) 1 ( f ( x) f ( x) ).
a
a
证
设 a b ，由 0 f ( x) g( x)及
g( x)dx
a
收敛，得
b
b
f ( x)dx g( x)dx g( x)dx.
a
a
a
即 F (b) b f ( x)dx 在 [a,) 上有上界． a
由定理１知
f
(
x
)dx
收
敛．
a
如果 0 g( x) f ( x), 且
2
( x) 0，且 ( x) f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
(
x
)dx
也收敛.
但 f ( x) 2 ( x) f ( x) ,
a
b
b
b
f ( x)dx 2 ( x)dx f ( x)dx,
a
a
a
即
f ( x)dx 2 ( x)dx f ( x)dx.
g(
x
)dx发散,
a
则
f
(
x
)dx
必定
发
散.
a
如果
f
(
x
)dx
收
敛，
由第
一
部分
知
a
g(
x
)dx
也收
，这与
假设
矛盾．
a
例如，广义积分
a
dx xp
(a
当 0)当
p P
1时收敛； 1时发散．
定理3 (比较审敛法１) 设函数 f ( x) 在区间
[a,) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果
定理2 (比较审敛原理) 设函数 f ( x)、g( x) 在
区间[a,) 上连续，如果0 f ( x) g( x) (a
x ),并且
g
(
x
)dx
收敛
，则
f ( x)dx
a
a
也收敛；如果0 g( x) f ( x) (a x ),并
且
g(
x
)dx
发
散，
则
f
(
x)dx
也发散．
x
x
f
(
x
)dx
发
散．
a
例２ 判别广义积分 dx 的收敛性. 1 x 1 x2
解 lim x2 1 1, 所给广义积分收敛．
x
x 1 x2
例３
判别广义积分
1
x3 1
/2
x
2
dx
的收
敛性.
解
lim
x
x
x3/2 1 x2
lim x2 x1
x x2
,
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
ex
x s1
1 x 1 s
1 ex
1 x1s ,
而 1 s 1, 根据比较审敛法2, I1 收敛.
(2)
lim
x
x2
(e x xs1 )
lim
x
x s1 ex
0,
(s)
根据极限审敛法1, I2 也收敛.
如果存在常数q 1，使得 lim ( x a)q f ( x) xa0
d 0 (或 lim ( x a)q f ( x) ), 则广义积 xa0
分 b f ( x)dx 发散． a
例6 判别广义积分 3 dx 的收敛性. 1 ln x
解 被积函数在点 x 1的左邻域内无界．
由洛必达法则知
存在常数 M
0及
p
1，使得
f (x)
M xp
(a
x
),则
a
f
( x)dx收敛；如果存在
常数 N 0 ，使得 f ( x) N (a x )， x
则
a
f
( x)dx
发散．
例１ 判别广义积分 dx 的收敛性. 1 3 x4 1
解
0
3
1 x4 1
3
1 x4
1 x4/
3
,
p 4 1, 3