解三角形中的取值范围问题
1、已知 a, b, c 分别为 ABC 的三个内角 A, B,C 的对边，且
2b cosC 2a
c

。

（ 1）求角 B 的大小；
（ 2）若 ABC 的面积为 3 ，求 b 的长度的取值范围。
解析：（ 1）由正弦定理得
2sin BcosC 2sin A sin C ，在 ABC
中，

sin A sin( B C )
sin B cosC cos B sin C ，所以 sin C (2cos B 1) 0
。

又因为
0 C
, sin C 0 1 ，而 0 B ，所以 B

，所以
cos B

1
2 3
（ 2）因为
S
ABC
3, 所以
ac
4

ac sin B

2

由余弦定理得 b2 a2 c2 2acscos B a2 c2 ac ac，即 b2 4 ，所以
b 2
2、在△ ABC中 , 角 A, B, C所对的边分别 为 a,
b
,
c, 已知

cosC
(cos A 3 sin A) cos B 0

.

(1) 求角 B的大小 ; （ 2）若 a+c=1, 求 b 的取值范围

【答案】
解:(1) 由已知得
cos(A B) cos Acos B 3 sin A cos B 0 即有 sin Asin B 3 sin Acos B 0
因为 sin A 0 , 所以 sin B 3 cosB 0 , 又 cos B 0 , 所以 tan B 3 , 又
0
B

, 所以 B.

1 1 1 3 (2) 由余弦定理 , 有 b2 a2 c2 2ac cos B . 因为 a c 1,cosB , 有 b2 3(a
)
2
.

1, 于是有
1
1 2 2 4 又 0 a b2 1, 即有 b 1
.

4 2
3、已知，满足．

（ I ）将表示为的函数，并求的最小正周期；
（ II ）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围．

4、已知向量
ur x r x 2 x ur r
( 3 sin ， ， f (x) m n

4 4 4

(1)
若 f ( x) 1 ，求 cos(x ) 的值；

3

(2)
在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ，且满足

a cosC

1
c

b ，求函数 f ( B) 的取值范围
.

2

【解析】

解：（ 1） Q f
x m n 3sin x cos x cos2 x 3 sin x 1 cos x 1 sin x 6 1 ,

4 4 4 2 2 2 2 2 2 2
而 f x
x 1
.
1, sin

6 2 2

cos x cos2 x 6 1 2sin 2 x
6 1 . 3 2 2 2

（ 2）
Q a cosC
1 c b, a a2 b2 c2 1
c
2 2 2
1

2 2ab 2
b, 即 b c a bc, cos A.

2

又 Q A 0, , A 又 Q 0 B
2 , B , f B 3
3 6 2 6 1, . 3 2 2
5、已知锐角中内角、 、的对边分别为、 、，，且 .

（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围
.

解：（Ⅰ）因为 , 由余弦定理知所以 .
又因为 , 则由正弦定理得
:,

所以 , 所以 .
（Ⅱ）
由已知 , 则
因为 ,, 由于 ,
所以 , .
根据正弦函数图象 , 所以 .
6、在中，内角、 、的对边分别为、 、，
C ,
且 b sin 2C 。

b sin A sin 2C
3 2 a

uuur uuur uuur uuur

（ 1）判断的形状； （2）若 | BA BC | 2 ，求 BA BC 的取值范围。

答案：（ 1 ）
sin B sin 2C
, sin B sin 2C , B
2C 或 B
2C
，若 B 2C ，因为

sin A sin B sin A sin 2C

C , 2 B , B C (舍) B 2C , A C ,
ABC
为等腰三角形。

3
3 2

uuur
uuur a 2 2 4, 2 a
2
（ 2） | BA BC | 2, c 2ac cosB cos B 2 ，

a

而
cos B
cos 2C , 1 cos B 1, 1 a

2

4 , uuur uuur 2 ,1
，
BA BC

2 3 3