考虑如何正确利用二重积分中的被积函数的奇偶性和积分区域的对称性来简化二重积分的计 算，主要结论如下： 一般设函数 f ( x, y ) 在闭区域 D 上连续，则 I
f ( x, y)d 存在。
D
1.若 D 关于 y 轴对称，而对任意的 ( x, y) D ，那么 （1）当 f ( x, y ) 在 D 上为 x 的奇函数，即 f ( x, y) f ( x, y) 时，有 I 0 ； （2）当 f ( x, y ) 在 D 上为 x 的偶函数，即 f ( x, y) f ( x, y) 时，则有 I 2
f ( x, y )d ，其中
D2
D2 {( x, y ) | ( x, y ) D, y 0} 或者 D2 D {( x, y ) | y 0} 。
3. 若 D 关于原点对称，而对任意的 ( x, y) D ，那么 （1）当 f ( x, y ) 在 D 上为关于 x 和 y 的奇函数，即 f ( x, y) f ( x, y) 时，有 I 0 ； （2）当 f ( x, y ) 在 D 上为关于 x 和 y 的偶函数，即 f ( x, y) f ( x, y) 时，则我们就有
D D
考虑如何利用对称性简化三重积分的计算，直接给出相应的主要结论如下： 设函数 f ( x, y, z) 在空间闭区域 上连续，则 I
f ( x, y, z)dv 存在。

1.（1）若 f ( x, y, z) 在 上是关于变量 x 的奇函数，且 关于 yoz 面对称，则有 I 0 ； （2）若 f ( x, y, z) 在 上是关于变量 x 的偶函数，且 关于 yoz 面对称，则有：
I 2 f ( x, y )d 2 f ( x, y )d ，其中 D1 、 D2 同上述 1 与 2 中所述。
D1 D2
4. 若 D 关于直线 y x 对称，那么我们有 关于积分变量具有对称性。
f ( x, y)d f ( y,x)d ，称此特性为积分区域 D
f ( x, y )d ，其中
D1
D1 {( x, y ) | ( x, y ) D, x 0} 或者 D1 D {( x, y ) | x 0} 。
2. 若 D 关于 x 轴对称，而对任意的 ( x, y) D ，那么 （1）当 f ( x, y ) 在 D 上为 y 的奇函数，即 f ( x, y) f ( x, y) 时，有 I 0 ； （2）当 f ( x, y ) 在 D 上为 y 的偶函数，即 f ( x, y) f ( x, y) 时，则有 I 2
I 2 yoz 面前方或后方的部分。
1
注意：在上述结论中，将 x 换成 y 或 z ，相应的坐标面换成 zox 或 xoy ，结论均成立。 2. 若 关于 z 轴对称，则有：
, 在上f 为关于x和y 的奇函数，即f (- x,- y , z )= f ( x, y , z ) ； 0 f ( x, y , z )dv 2 f ( x, y , z )dv，在上f 为关于x和y 的偶函数，即f (- x,- y , z )=f ( x, y , z ) ， 2 其中 2 为 在平面 x y 或 x y 一侧部分的区域。
注意：上述结论中 z 轴换为 x 轴或 y 轴亦有相似的结论。 3. 若 关于原点对称，则有：
, 在上f 为关于x, y, z 的奇函数，即f (- x,- y,- z )= f ( x, y, z ) ； 0 f ( x, y , z )dv 2 f ( x, y , z )dv，在上f 为关于x, y, z 的偶函数，即f (- x,- y,- z )=f ( x, y, z ) 3 其中 3 是 中关于原点对称的两部分区域中的任意一部分。