、最值
一、选择题
1.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f(x)=(2x+ax-1)1xe的极值点,则f(x)的极小值

为 ( )
A.-1 B.-23e C.53e D.1
【命题意图】导数研究函数的单调性,极值与最值以及不等式的解法.通过求极小值意在
考查学生单调性与导数的关系,以及运算能力.
【解析】选A.由题可得f'(x)=(2x+a)1xe+(2x+ax-1)1xe=[2x+(a+2)x+a-1]1xe,
因为f'(-2)=0,所以a=-1,f(x)=(2x-x-1)1xe,故f'(x)=(2x+x-2)1xe,
令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,
所以f(x)极小值=f(1)=(1-1-1)11e=-1.
【方法技巧】求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间,求导数f'(x).
(2)求f(x)的拐点,即求方程f'(x)=0的根.
(3)利用f'(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.
2.(2017·浙江高考·T7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象
可能是 ( )

【解析】选D.由导函数的图象可知函数在(-∞,0)上是先减后增,在(0,+∞)上是先增后减再
增,故选D.
3.(2017·山东高考文科·T10)若函数g(x)=exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)
的定义域上单调递增,则称f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是 ( )
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cosx
【命题意图】本题考查函数的单调性的判断及导数的应用,意在考查考生应用已有知识
分析问题、解决问题的能力.

【解析】选A.A中,g(x)=ex2-x=2xe,因为2e>1,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性质,
满足题意,故选A;
B中,g(x)=exx2,则g'(x)=exx(x+2),所以g(x)在(-2,0)上单调递减,所以f(x)不具有M性质,
不满足题意;

C中,g(x)=ex3-x=3xe,因为0<3e<1,所以g(x)单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题
意;
D中,g(x)=excosx,则g'(x)=ex(cosx-sinx),所以g(x)在5,44上单调递减,所以f(x)不具
有M性质,不满足题意.
二、填空题
4.(2017·江苏高考·T11)已知函数f(x)=x3-2x+ex-错误!未找到引用源。,其中e是自然对数
的底数,若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是 .
【命题意图】考查利用函数性质解不等式,如何利用函数的性质把不等式转化为
f(g(x))>f(h(x))的形式,根据函数的单调性去掉“f”,转化为具体的不等式(组)是重点.突出考
查考生的应变能力.
【解析】因为f'(x)=3x2-2+ex+e-x≥3x2-2+2错误!未找到引用源。≥0,所以函数f(x)在R上
单调递增,因为f(-x)
=-x3+2x+错误!未找到引用源。-ex=-f(x),f(a-1)+f(2a2)≤0,所以2a2≤1-a,即2a2+a-1≤0,解
得-1≤a≤错误!未找到引用源。,故实数a的取值范围为错误!未找到引用源。.
答案:错误!未找到引用源。
5.(2017·山东高考理科·T15)若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义
域上单调递增,则称f(x)具有M性质,则下列函数中所有具有M性质的函数的序号
为
①f(x)=2-x;②f(x)=3-x;③f(x)=x3;④f(x)=x2+2
【命题意图】本题考查函数的单调性的判断及导数的应用,意在考查考生应用已有知识
分析问题、解决问题的能力.

【解析】①g(x)=ex2-x=2xe,因为2e>1,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性质,满足题
意;
②g(x)=ex3-x=3xe,因为0<3e<1,所以g(x)单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题意;
③g(x)=exx3,则g'(x)=ex(x3+3x2)=exx2(x+3),所以g(x)在(-∞,-3)上单调递减,所以f(x)不具
有M性质,不满足题意;
④g(x)=ex(x2+2),则g'(x)=ex(x2+2x+2)>0恒成立,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性
质,满足题意.
综上,①④满足题意.
答案:①④
三、解答题
6.(2017·北京高考文科·T20)同(2017·北京高考理科·T19)已知函数f(x)=excosx-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.
(2)求函数f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.
【命题意图】本题主要考查利用导数研究曲线的切线及求函数最值,意在培养学生的计
算能力与分析解决问题的转化能力.
【解析】(1)f(x)=ex·cosx-x,所以f(0)=1,
所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,所以f'(0)=0,
所以y=f(x)在(0, f(0))处的切线过点(0,1),k=0,
所以切线方程为y=1.
(2)f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,设f'(x)=g(x),
所以g'(x)=-2sinx·ex≤0,所以g(x)在0,2上单调递减,所以g(x)≤g(0)=0,所以f'(x)≤0,

所以f(x)在0,2上单调递减,
所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f2=-2.
7.(2017·全国丙卷·文科·T21)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)当a<0时,证明f(x)≤-34a-2.

【解析】(1)f'(x)=22211aaxxx
=211axxx(x>0),
当a≥0时,f'(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a<0时,则f(x)在10,2a上单调递增,

在1,2a上单调递减.
(2)由(1)知,当a<0时,f(x)max=f12a
则f12a-324a=ln12a+错误!未找到引用源。+1,
令y=ln t+1-t102ta,
则y'=1t-1=0,解得t=1,
所以y=ln t+1-t在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以ymax=y(1)=0,
所以y≤0,
即f(x)max=-错误!未找到引用源。-2,
所以f(x)≤-错误!未找到引用源。-2.

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