（22）（本题满分 12 分）
2a 1
设矩阵
A
=
a
2
2a
1
， 现 矩 阵 A 满 足 方 程 AX = B ， 其 中
a2
2a n×n
X = ( x1,, xn )T ， B = (1, 0,, 0) ，
（1）求证 A= (n +1) an ；
（2） a 为何值，方程组有唯一解，并求 x1 ； （3） a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.
Aij + aij = 0(i, j = 1,2,3) ，则 A =
．
22．本题满分 11 分）
设 A = 11
a 0
,
B
=
10
1 b
，问当
a,
b
为何值时，存在矩阵
C，使得
AC
−
CA
=
B
，并求出
所有矩阵 C． 22．本题满分 11 分）
设 A = 11
a 0
,
B
=
10
1 b
，问当
a,
b
为何值时，存在矩阵
（9）设向量组α1,α2 ,α3 线性无关，则下列向量组线性相关的是
线性相关，则
(A) α1 − α2 ,α2 − α3,α3 − α1
(B) α1 + α2 ,α2 + α3,α3 + α1
(C) α1 − 2α2 ,α2 − 2α3,α3 − 2α1 . (D) α1 + 2α2 ,α2 + 2α3,α3 + 2α1 .
（23）（本题满分 10 分）
设 A 为 3 阶 矩 阵 ， α1,α2 为 A 的 分 别 属 于 特 征 值 −1,1 特 征 向 量 ， 向 量 α3 满 足
Aα=3 α2 + α3 ，
（1）证明α1,α2 ,α3 线性无关；
（2）令 P = (α1,α2 ,α3 ) ，求 P−1AP .
2007
有
3
个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵
A
ax1 + x2 + 3x3 + bx4 = 1
的秩 r ( A) = 2 ；（Ⅱ）求 a, b 的值及方程组的通解.
（23）（本题满分 9 分）
设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量α1 =(−1, 2, −1)T ,α2 =(0, −1,1)T 是线
（Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 y12 + y22 ，求 a 的值。
2009
（7）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵. 若 A3 = 0 ，则（ ）
( A) E − A 不可逆， E + A 不可逆. ( B) E − A 不可逆， E + A 可逆.
8 设 A 为 4 阶对称矩阵,且 A2 + A =0, 若 A 的秩为 3,则 A 相似于
1
A
1 1
0
1
B
1 −1
0
1
C
−1 −1
0
−1
D
−1
−1
0
14 设 A，B 为 3 阶矩阵，且 A = 3, B = 2, A−1 + B = 2,则 A + B−1 = __________
x1
+
2 x2
+
x3
=a
− 1 有公共解，求
a
的值及
x1
+
4 x2
+
a2 x3
= 0
所有公共解.
（24） (本题满分 11 分)
设三阶对称矩阵 A 的特征向量值 λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −2 ， α=1 (1, −1,1)T 是 A 的属于
λ1 的一个特征向量，记 B =A5 − 4 A3 + E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵.
得单位矩阵。记 P1 = 1 1 0 ， P2 = 0 0 1 ，则 A =（ ）
0 0 1
0 1 0
（A） P1P2
（B） P1−1P2
（C） P2 P1
（D） P2 P1−1
（8）设 A = (α1,α 2 ,α3 ,α 4 ) 是 4 阶矩阵，A* 为 A 的伴随矩阵。若 (1 ,0,1,0)T 是方程组 Ax = 0
，二次型
f
( x1,
x2 ,
x3
)
=
xT
AT A x 的秩为 2，
0
a −1
(I) 求实数 a 的值；
(II) 求正交变换 x = Qy 将 f 化为标准形.
2011
（7）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3 行
1 0 0
1 0 0
（I）验证α1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵 B .
2006
（13）设α1,α2 ,,αs 均为 n 维列向量， A 为 m × n 矩阵，下列选项正确的是 [ ]
(A) 若α1,α2 ,,αs 线性相关，则 Aα1, Aα2 ,, Aαs 线性相关.
[]
2 −1 −1 1 0 0
（10）设矩阵 A = −1
2
−1, B = 0 1
0
，则
A
与
B
−1 −1 2 0 0 0
(A) 合同且相似 (C) 不合同，但相似. （23） (本题满分 11 分)
（B）合同，但不相似. (D) 既不合同也不相似
[]
设线性方程组
x1 x1
+ +
x2 + x3 = 0 2x2 + ax3 = 0 与方程
()
1 0 0
(A)
0
2
0
0 0 1
1 0 0
(B)
0
1
0
0 0 2
则
2 0 0
(C)
0
1
0
0 0 2
2 0 0
(D)
0
2
0
0 0 1
Q−1 AQ =
(14) 设 A 为3阶矩阵， A =3 ， A* 为 A 伴随矩阵，若交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ，则
BA* =
（23）（本题满分 11 分）
1 1 −1 1 设 A 为 3 阶实对称矩阵， A 的秩为 2，且 A 0 0 = 0 0 。
−1 1 1 1 （I）求 A 的所有的特征值与特征向量；
（II）求矩阵 A 。
2010
7.设向量组 I :α1,α2 ,…，αr可由向量组II：β1，β2，…，βs线性表示 ，下列命题正确的是： A 若向量组 I 线性无关，则 r ≤ s B 若向量组 I 线性相关，则 r>s C 若向量组 II 线性无关，则 r ≤ s D 若向量组 II 线性相关，则 r>s
的一个基础解系，则 A* x = 0 的基础解系可为（ ）
（A） α1 ,α 3
（B）α1,α 2
（C）α1,α 2 ,α3
（D）α 2 ,α3 ,α 4
（14）二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 + 3x22 + x32 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2 x3 ，则 f 的正惯性指数
3A*
0
(
D
)
.
0 3B*
2A*
0
1 0 0
（8）设
A，P
均为
3
阶矩阵，
PT
为
P
的转置矩阵，且
P
T
AP=
0
1
0
，若
0 0 2
P=（α1，α2，α3），Q=（α1 +α2，α2，α3），则 QT AQ 为（ ）
2 1 0
1 1 0
2 0 0 1 0 0
(
A)
.
1
1
0
(
B
)
.
1
2
15
λ 设A = 0
1
1 λ −1
1
（1）求λ、a.
1 a 0 , b = 1 .已知线性方程组Ax = b存在2个不同的解。 λ 1
(2)求方程组Ax = b的通解。
0 −1 4
23. 设 A = −1
3
a ，正交矩阵
Q
使 得 QT AQ 为 对 角 矩 阵 ， 若
Q
的第一列为
c1
c2
c3
c4
向
量
组
线
性
相
关
的
为
()
(A) α1,α2 ,α3
(B) α1,α2 ,α4
(C) α1,α3 ,α4
(D) α2 ,α3 ,α4
1 0 0
(8)
设A为
3
阶矩阵， P 为
3
阶可逆矩阵，且
P
−1
AP
=
0
1
0
.若
P
=
(α1,
α2
,α3
)
，
0 0 2
=Q (α1 + α2 ,α2 ,α3 )
（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2αα T + ββ T ；
（2）若α , β 正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为
2 y12
+
y
2 2
．
2012
0
0
1
−1
(7)
设
α1